O módulo do número complexo z = i^{2014} - i^{1987} é igual a
Unicamp · 2014
Questão 47 — Unicamp 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
As potências de i se repetem de 4 em 4. Use o resto da divisão do expoente por 4.
Resolução
O que você precisa saber
- i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i.
- |a + bi| = √(a² + b²).
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: simplificar z e achar o módulo.
ESTRUTURAR
• 2014 = 4 \cdot 503 + 2: i^{2014} = -1.
• 1987 = 4 \cdot 496 + 3: i^{1987} = -i.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Substituir e calcular o módulo.
A armadilha: errar o sinal de -i^{1987} ou achar que as potências se anulam (alternativa A).
CALCULAR
z = -1 - (-i) = -1 + i.
|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.
CONFERIR
Mesmo com o sinal do i trocado, o módulo de -1 \pm i é \sqrt{2}. Alternativa B.
Resposta
\sqrt{2}.
Alternativa correta
B