Considere a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ b & 1 & a \\ 1 & b & 1 \end{pmatrix},onde a e b são números reais distintos. Podemos afirmar que
Unicamp · 2014
Questão 48 — Unicamp 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Calcule o determinante por Sarrus e tente reconhecer um produto notável.
Resolução
O que você precisa saber
- Regra de Sarrus.
- a² − 2ab + b² = (a − b)².
- Matriz invertível: determinante diferente de zero.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o sinal do determinante quando a \ne b.
ESTRUTURAR
• Diagonais principais: 1 + a^2 + b^2.
• Diagonais secundárias: 1 + ab + ab.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Subtrair e fatorar.
A armadilha (alternativa B): parar numa conta parecida, mas com sinal errado.
CALCULAR
\det M = 1 + a^2 + b^2 - 1 - 2ab = (a - b)^2.
Como a \ne b, \det M > 0.
CONFERIR
Com a = 1 e b = 0: M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \det M = 1 + 1 + 0 - 1 - 0 - 0 = 1 = (1 - 0)^2. A também falha (é invertível) e C falha (M só é simétrica se a = b). Alternativa D.
Resposta
O determinante de M é positivo.
Alternativa correta
D