Seja x real tal que \cos x = \tan x. O valor de \operatorname{sen} x é
Unicamp · 2014
Questão 42 — Unicamp 2014
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva \tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} e multiplique por \cos x. Depois troque \cos^2 x por 1 - \operatorname{sen}^2 x.
Resolução
O que você precisa saber
- tg x = sen x / cos x.
- cos²x = 1 − sen²x.
- −1 ≤ sen x ≤ 1.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o valor de s = \operatorname{sen} x que satisfaz a equação.
ESTRUTURAR
• \cos^2 x = \operatorname{sen} x.
• 1 - s^2 = s, ou seja, s^2 + s - 1 = 0.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver em s e descartar o valor fora de [-1, 1].
A armadilha (alternativa D): aceitar a raiz negativa \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1{,}6, que não pode ser seno. Repare também que \operatorname{sen} x = \cos^2 x \ge 0.
CALCULAR
s = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Só \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0{,}62 está entre −1 e 1.
CONFERIR
s \approx 0{,}618, \cos^2 x = 1 - 0{,}382 = 0{,}618 = s. Confere. Alternativa A.
Resposta
\operatorname{sen} x = (\sqrt{5} - 1)/2.
Alternativa correta
A