Sejam r, s e t as raízes do polinômio
p(x) = x^3 + ax^2 + bx + \left(\frac{b}{a}\right)^3,em que a e b são constantes reais não nulas. Se s^2 = rt, então a soma de r + t é igual a
Unicamp · 2013
Questão 46 — Unicamp 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Produto das raízes: rst = -\left(\frac{b}{a}\right)^3. Com rt = s^2, isso vira s^3.
Resolução
O que você precisa saber
- Girard: r + s + t = −a e rst = −(termo independente).
- Raiz cúbica de um cubo.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: r + t = -a - s, depois de achar s.
ESTRUTURAR
• rst = s \cdot s^2 = s^3 = -\left(\frac{b}{a}\right)^3.
• Então s = -\frac{b}{a}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Usar a soma das raízes.
A armadilha: errar o sinal do produto (-d para grau 3) e achar s = \frac{b}{a}, caindo na alternativa B.
CALCULAR
r + t = -a - s = -a + \frac{b}{a}.
CONFERIR
Pela soma dos produtos dois a dois: s(r + t) + rt = b dá -\frac{b}{a}\left(\frac{b}{a} - a\right) + \frac{b^2}{a^2} = b. Confere. Alternativa D.
Resposta
\dfrac{b}{a} - a.
Alternativa correta
D