A embalagem de certo produto alimentício, em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este aumento da área lateral não deve ultrapassar 25%. Sejam r e h o raio e a altura da embalagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem alterada. Nessas condições podemos afirmar que:
Unicamp · 2013
Questão 44 — Unicamp 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Mesmo volume: R^2H = r^2h. Área lateral: 2\pi RH \le 1{,}25 \cdot 2\pi rh. Escreva tudo com a razão k = \frac{R}{r}.
Resolução
O que você precisa saber
- Volume do cilindro: πr²h.
- Área lateral: 2πrh.
- Mesmo volume: H/h = (r/R)².
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: os limites para \frac{R}{r} e \frac{H}{h}.
ESTRUTURAR
• k = \frac{R}{r}, então \frac{H}{h} = \frac{1}{k^2}.
• \frac{RH}{rh} = k \cdot \frac{1}{k^2} = \frac{1}{k} \le \frac{5}{4}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver a desigualdade em k e passar para \frac{H}{h}.
A armadilha: aplicar 25% direto em R ou em H (alternativas com 3/4 ou 5/4).
CALCULAR
\frac{1}{k} \le \frac{5}{4}, então k \ge \frac{4}{5}.
\frac{H}{h} = \frac{1}{k^2} \le \frac{25}{16}.
CONFERIR
Caso limite: R = 0{,}8r e H = \frac{25}{16}h. Volume: 0{,}64 \cdot \frac{25}{16} = 1. Área: 0{,}8 \cdot \frac{25}{16} = 1{,}25. Alternativa C.
Resposta
\dfrac{R}{r} \ge \dfrac{4}{5} e \dfrac{H}{h} \le \dfrac{25}{16}.
Alternativa correta
C