Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo C\hat{A}B = 30°. Portanto, o comprimento do segmento CE é:
Unicamp · 2013
Questão 42 — Unicamp 2013
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Calcule BC e BE (lados iguais de cada isósceles). O ângulo C\hat{B}E é 180° - 30° - 30° = 120°.
Resolução
O que você precisa saber
- Isósceles com base 2a e ângulo da base 30°: lado = a / cos 30°.
- Lei dos cossenos.
- cos 120° = −1/2.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o lado CE do triângulo CBE.
ESTRUTURAR
• BC = \dfrac{a}{\cos 30°} = \dfrac{2a}{\sqrt{3}}.
• BE = \dfrac{a/2}{\cos 30°} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}.
• C\hat{B}E = 120°.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Lei dos cossenos no triângulo CBE.
A armadilha: usar 60° no lugar de 120° e chegar a a (que não está nas alternativas) ou trocar o sinal do cosseno.
CALCULAR
CE^2 = \dfrac{4a^2}{3} + \dfrac{a^2}{3} - 2 \cdot \dfrac{2a}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{a}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)
= \dfrac{5a^2}{3} + \dfrac{2a^2}{3} = \dfrac{7a^2}{3}.
CE = a\sqrt{\dfrac{7}{3}}.
CONFERIR
Por coordenadas: B = (0, 0), C = \left(-a, \frac{a}{\sqrt{3}}\right), E = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}\right). CE^2 = \frac{9a^2}{4} + \frac{a^2}{12} = \frac{28a^2}{12} = \frac{7a^2}{3}. Alternativa C.
Resposta
a\sqrt{7/3}.
Alternativa correta
C