A figura abaixo mostra um quadrado com lados de comprimento x que está inscrito num triângulo retângulo ABC de hipotenusa unitária.
Se R denota a área de ABC, pode-se afirmar corretamente que o valor de x é:
Simulado Unicamp · 2026
Questão 45 — Simulado Unicamp 2026
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Use a altura h relativa à hipotenusa. A área dá h em função de R.
Resolução
O que você precisa saber
- Área do triângulo = base × altura ÷ 2.
- Triângulos semelhantes: lados proporcionais às alturas.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: o lado do quadrado em função da altura do triângulo, e depois da área.
ESTRUTURAR
• Base BC = 1, altura h relativa a BC.
• R = \frac{1 \cdot h}{2}, então h = 2R.
• O lado de cima do quadrado corta um triângulo menor, semelhante a ABC, de base x e altura h - x.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Montar a proporção base/altura nos dois triângulos semelhantes.
A armadilha: tratar os catetos como 1 e chegar em fórmulas com R^2.
CALCULAR
\frac{x}{1} = \frac{h - x}{h}
xh = h - x, então x(1 + h) = h e x = \frac{h}{1 + h}.
Com h = 2R: x = \frac{2R}{1 + 2R}.
CONFERIR
Caso isósceles: catetos \frac{\sqrt{2}}{2}, R = \frac{1}{4}, h = \frac{1}{2}. Pela fórmula, x = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}. Direto pela figura: os ângulos B e C valem 45°, então cada triângulo do canto tem base igual a x, e x + x + x = 1 dá x = \frac{1}{3}. Alternativa D.
Resposta
x = \frac{2R}{1 + 2R}.
Alternativa correta
D