Razão e semelhança (formatos de papel A)Média–difícil
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
As folhas de papel retangular de tamanho A0, A1, A2, A3 e A4 são confeccionadas de maneira que uma folha A0 corresponde a duas folhas A1, que, por sua vez, corresponde a duas folhas A2, e assim por diante, conforme representado na figura. Além disso, a razão entre as medidas lineares, largura (medida menor) e altura (medida maior) de cada folha é igual a \frac{1}{\sqrt{2}}.
Considere k a razão entre a medida da altura da folha de tamanho A1 pela altura da folha de tamanho A4.
Qual é o valor de k?
(A)
3\sqrt{2}
(B)
2\sqrt{2}
(C)
\dfrac{3}{\sqrt{2}}
(D)
\dfrac{1}{\sqrt{2}}
(E)
\dfrac{1}{2\sqrt{2}}
Pista
Ao cortar uma folha ao meio, a altura da folha nova é a largura da antiga. Então, de um tamanho para o seguinte, a altura é dividida por \sqrt{2}. De A1 até A4 são quantos passos?
Resolução
O que você precisa saber
Cortar ao meio pela altura faz a largura antiga virar a altura nova.
Largura dividida por altura vale 1 sobre raiz de 2, então a largura é a altura dividida por raiz de 2.
Três divisões seguidas por raiz de 2 são uma divisão por raiz de 2 ao cubo.
Figura de apoio
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantas vezes a altura da A1 é maior que a da A4.
ESTRUTURAR
Se a A1 tem altura h:
• A2: altura \frac{h}{\sqrt{2}}.
• A3: altura \frac{h}{(\sqrt{2})^2}.
• A4: altura \frac{h}{(\sqrt{2})^3}.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Contar os passos de A1 a A4 e elevar o fator \sqrt{2} ao número de passos.
A armadilha: inverter a razão, altura da A4 pela da A1, e chegar a \frac{1}{2\sqrt{2}} (alternativa E). Outra é somar os passos, 3 vezes \sqrt{2}, e marcar 3\sqrt{2} (alternativa A): os fatores se multiplicam.
CALCULAR
k = \frac{h}{\frac{h}{(\sqrt{2})^3}} = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}
CONFERIR
Pela área: a A1 tem 8 vezes a área da A4 (3 cortes ao meio). Como as folhas são semelhantes, a razão das alturas é \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ✓.
Resposta
k = 2\sqrt{2}.
Alternativa corretaB
Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H16 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Em palavras de salaRegra de três com cabeça. Você decide se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais e, quando várias mudam ao mesmo tempo, reduz tudo a uma unidade (uma pessoa, uma hora, um quilo).
Por que é H16
A altura de cada folha A cai na mesma razão a cada corte. Resolver problema com grandezas proporcionais é a H16.
A H16 nesta questão
A cada passo, a altura nova é a altura anterior dividida por √2. De A1 para A4 são 3 passos: k = (√2)³ = 2√2.
O que muda na hora de resolver
A H16 pede para multiplicar os fatores dos três passos. Quem soma os passos marca 3√2.
