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ENEM PPL · 2021

Questão 160 — ENEM PPL 2021

Áreas e encaixe de círculos Difícil

Antes da resolução

Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.

Um suporte será instalado no box de um banheiro para serem colocados recipientes de xampu, condicionador e sabonete líquido, sendo que o recipiente de cada produto tem a forma de um cilindro circular reto de medida do raio igual a 3 cm. Para maior conforto no interior do box, a proprietária do apartamento decidiu comprar o suporte que tiver a base de menor área, desde que a base de cada recipiente ficasse inteiramente sobre o suporte. Nas figuras, vemos as bases desses suportes, nas quais todas as medidas indicadas estão em centímetro.

Utilize 3,14 como aproximação para \pi.

Para atender à sua decisão, qual tipo de suporte a proprietária comprou?

(A)

(B)

(C)

III

(D)

(E)

Resolução

O que você precisa saber

Um círculo de raio 3 só cabe onde houver 6 cm livres em todas as direções.
O centro de cada círculo precisa ficar a pelo menos 3 cm de todas as bordas, e os centros, a pelo menos 6 cm uns dos outros.
Área do quarto de círculo: pi vezes o raio ao quadrado, dividido por 4.

Figura de apoio

INTERPRETAR

O que a questão quer de verdade: o suporte de menor área em que cabem 3 círculos de raio 3.

ESTRUTURAR

Áreas: I 81; II 144; III 36; IV 27; V \approx 132{,}7 (cm²).

ESCOLHER ESTRATÉGIA

Eliminar quem não comporta os três e comparar as áreas dos outros.

A armadilha: escolher pela menor área, IV ou III. O IV tem só 3 cm de largura e não cabe nenhum círculo; o III, de 6 por 6, cabe um só. O trapézio I também engana: o lado inclinado tira espaço e só um círculo cabe nele.

CALCULAR

• IV: largura 3 < 6 ✗.

• III: cabe 1 círculo ✗.

• I: a faixa para os centros (3 cm das bordas) é pequena demais para dois centros a 6 cm um do outro ✗.

• II: cabem 4 círculos ✓, área 144.

• V: centros em (3, 3), (9, 3) e (3, 9) ✓, área 3{,}14 \cdot 169 \div 4 \approx 132{,}7.

V tem área menor que II.

CONFERIR

No V, o centro mais distante fica a \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{90} \approx 9{,}5 da origem; somando o raio 3, chega a 12,5 < 13 ✓. Os centros distam 6, 6 e \approx 8{,}5 ✓.

Resposta

O suporte V, o quarto de círculo.

Alternativa correta E

Lendo pela Matriz do ENEMPor que esta é uma questão da H9 e como isso te ajuda a resolverAbra depois de tentar. O texto mostra a resposta.

H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Em palavras de salaAparecem opções (modelos, tampos, caixas, plantas) e a escolha tem que ser justificada com geometria. Você calcula ou compara a medida que decide e usa isso como argumento para escolher.

Por que é H9

Três recipientes de raio 3 cm precisam caber inteiros no suporte de menor área. Usar conhecimentos geométricos na seleção de argumentos é a H9.

A H9 nesta questão

IV, de 9 por 3, e III, de 6 por 6, não comportam os três círculos, e no trapézio I o lado inclinado tira espaço. Restam II (144 cm²) e V, um quarto de círculo de raio 13: 3,14 · 169/4 ≈ 132,7 cm². No V, os centros em (3, 3), (9, 3) e (3, 9) ficam a no máximo √90 ≈ 9,5 do centro, e 9,5 + 3 < 13. Fica o V.

O que muda na hora de resolver

A H9 pede testar se os três cabem antes de comparar áreas. Quem escolhe a menor área marca IV ou III, onde não cabem.

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