Dada a função \(f(x) = x^2 – 7x + 12\), tem-se que \(f(m) = 2\) e \(f(n) = 12\). O produto de todos os possíveis valores de \(m\) e \(n\) é igual a:

(A) 10

(B) 0

(C) 70

(D) 24

(E) 6

Resolução (passo a passo)

A função é \(f(x) = x^2 – 7x + 12\). Vamos achar todos os valores possíveis de \(m\) e de \(n\) separadamente.

1) Achando os valores de \(m\) (quando \(f(m)=2\))

Se \(f(m)=2\), então:

\( m^2 – 7m + 12 = 2 \)

Agora passamos o 2 para o outro lado subtraindo 2:

\( m^2 – 7m + 10 = 0 \)

Agora vamos fatorar (achar dois números que multiplicam 10 e somam 7, lembrando do sinal “-”):

• \(5 \cdot 2 = 10\)
• \(5 + 2 = 7\)

Como o termo do meio é \(-7m\), os dois números ficam negativos:

\( (m – 5)(m – 2) = 0 \)

Então, para o produto dar zero, um dos fatores tem que ser zero:

• \(m – 5 = 0 \Rightarrow m = 5\)
• \(m – 2 = 0 \Rightarrow m = 2\)

Logo, os valores possíveis de \(m\) são: \(2\) e \(5\).

2) Achando os valores de \(n\) (quando \(f(n)=12\))

Se \(f(n)=12\), então:

\( n^2 – 7n + 12 = 12 \)

Agora subtraímos 12 dos dois lados:

\( n^2 – 7n = 0 \)

Colocamos \(n\) em evidência (fator comum):

\( n(n – 7) = 0 \)

Então:

• \(n = 0\)
• \(n – 7 = 0 \Rightarrow n = 7\)

Logo, os valores possíveis de \(n\) são: \(0\) e \(7\).

3) Produto de todos os possíveis valores de \(m\) e \(n\)

Os possíveis valores são:

• \(m\): \(2\) e \(5\)
• \(n\): \(0\) e \(7\)

O produto de todos eles é:

\( 2 \cdot 5 \cdot 0 \cdot 7 = 0 \)

Como tem um zero no meio, o produto final fica zero.

Resposta correta: (B) 0