Sejam f(x) = x - 2 e g(x) = x^2 - 4x funções reais. A quantidade de números x \in \mathbb{Z} que satisfazem à inequação g(f(x)) < 0 é:
Unicamp · 2025
Questão 54 — Unicamp 2025
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
g(u) = u(u - 4). Troque u por x - 2 e fatore.
Resolução
O que você precisa saber
- g(f(x)): substituir x por f(x) dentro de g.
- Produto de dois fatores é negativo quando eles têm sinais opostos: entre as raízes.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: quantos inteiros deixam g(f(x)) negativo.
ESTRUTURAR
g(f(x)) = (x - 2)^2 - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 2 - 4) = (x - 2)(x - 6).
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Resolver (x - 2)(x - 6) < 0: o valor é negativo entre as raízes 2 e 6.
A armadilha: inverter a ordem e calcular f(g(x)) = x^2 - 4x - 2, ou contar as raízes 2 e 6, que dão zero (e não valor negativo). Esse último erro leva à alternativa D.
CALCULAR
(x - 2)(x - 6) < 0 \Rightarrow 2 < x < 6.
Inteiros: 3, 4, 5. São 3.
CONFERIR
x = 4: f(4) = 2 e g(2) = 4 - 8 = -4 < 0. x = 2: f(2) = 0 e g(0) = 0, não é menor que zero. Alternativa B.
Resposta
3 números inteiros.
Alternativa correta
B