Três números reais distintos a, b, c são tais que a, b, c e ab, bc, ca formam, nessas ordens, duas progressões aritméticas de mesma razão. O valor do produto abc é
Unicamp · 2023
Questão 48 — Unicamp 2023
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Escreva a = b - r e c = b + r. A segunda PA dá duas equações: bc - ab = r e ca - bc = r.
Resolução
O que você precisa saber
- Termos de uma PA de 3 termos: b − r, b, b + r.
- Números distintos: r ≠ 0, e dá para dividir por r.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: encontrar b e r a partir das duas condições.
ESTRUTURAR
Primeira PA: b - r, b, b + r.
Segunda PA: ab = (b - r)b, bc = b(b + r), ca = (b + r)(b - r), com razão r.
ESCOLHER ESTRATÉGIA
Montar as duas diferenças e dividir por r \ne 0.
A armadilha: escrever só a primeira equação e tentar adivinhar. As quatro alternativas tiveram quase a mesma porcentagem, sinal de chute.
CALCULAR
bc - ab = b(b + r) - b(b - r) = 2br = r \Rightarrow b = \frac{1}{2}.
ca - bc = (b + r)(b - r) - b(b + r) = (b + r)(-r) = r \Rightarrow b + r = -1 \Rightarrow r = -\frac{3}{2}.
a = b - r = 2, c = b + r = -1.
abc = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) = -1.
CONFERIR
Primeira PA: 2, 1/2, −1 (razão −3/2). Segunda: ab = 1, bc = -\frac{1}{2}, ca = -2 (razão −3/2). Mesma razão. Alternativa C.
Resposta
abc = -1.
Alternativa correta
C