O valor de
\sqrt{\left(1 - \frac12\right) \cdot \left(1 - \frac13\right) \cdot \left(1 - \frac14\right) \cdot \ \dots\ \cdot \left(1 - \frac{1}{100}\right)}é
UFRGS · 2020
Questão 26 — UFRGS 2020
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Faça cada parêntese virar uma fração só: 1 - \tfrac12 = \tfrac12, 1 - \tfrac13 = \tfrac23, ... O que acontece quando você multiplica?
Resolução
O que você precisa saber
- 1 − 1/k é igual a (k − 1)/k.
- Num produto em que o denominador de um fator é o numerador do seguinte, quase tudo se cancela.
- Depois de achar o produto, ainda falta a raiz quadrada.
INTERPRETAR
O que a questão quer de verdade: simplificar um produto longo por cancelamento e tirar a raiz.
ESTRUTURAR
\frac12 \cdot \frac23 \cdot \frac34 \cdot \ \dots\ \cdot \frac{99}{100}ESCOLHER ESTRATÉGIA
Cancelar cada numerador com o denominador anterior: sobram só o 1 do começo e o 100 do fim.
A armadilha: parar no produto \tfrac{1}{100} e esquecer a raiz.
CALCULAR
\frac12 \cdot \frac23 \cdot \dots \cdot \frac{99}{100} = \frac{1}{100} \qquad \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}CONFERIR
Teste com poucos fatores: \tfrac12 \cdot \tfrac23 \cdot \tfrac34 = \tfrac14, que é 1 sobre o último denominador ✓.
Por que as outras tentam: B é o produto sem a raiz; C, D e E não fazem sentido, porque cada fator é menor que 1 e o produto também é.
Resposta
\dfrac{1}{10}.
Alternativa correta
A