Resolva a equação:

\(\dfrac{x-2}{x-1} + \dfrac{3}{x-2} = \dfrac{4x-3}{x^2-3x+2}\)

O conjunto solução, com \(x \in \mathbb{R}\), é:

(A) \(\varnothing\)

(B) \(\{1;2\}\)

(C) \(\{-4;-1;+1;+4\}\)

(D) \(\{4\}\)

(E) \(\{1;4\}\)

Resolução

1) Restrições (valores que NÃO podem)

Em frações, o denominador não pode ser zero.

• \(x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\)
• \(x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\)

E no denominador da direita:

\(x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\)

Confirma as mesmas restrições: \(x \neq 1\) e \(x \neq 2\).

2) Multiplicar tudo pelo denominador comum

O denominador comum (MMC) é \((x-1)(x-2)\). Vamos multiplicar toda a equação por \((x-1)(x-2)\) para “sumirem” as frações.

\((x-1)(x-2)\cdot \dfrac{x-2}{x-1} + (x-1)(x-2)\cdot \dfrac{3}{x-2} = (x-1)(x-2)\cdot \dfrac{4x-3}{(x-1)(x-2)}\)

3) Cancelar os denominadores

No 1º termo, cancela \((x-1)\):

\((x-2)(x-2) = (x-2)^2\)

No 2º termo, cancela \((x-2)\):

\(3(x-1)\)

No lado direito, cancela tudo:

\(4x-3\)

Então a equação fica:

\((x-2)^2 + 3(x-1) = 4x-3\)

4) Desenvolver e resolver

\((x-2)^2 = x^2 – 4x + 4\)

\(3(x-1) = 3x – 3\)

Somando no lado esquerdo:

\(x^2 – 4x + 4 + 3x – 3 = x^2 – x + 1\)

Logo:

\(x^2 – x + 1 = 4x – 3\)

Passando tudo para a esquerda:

\(x^2 – x – 4x + 1 + 3 = 0\)

\(x^2 – 5x + 4 = 0\)

Agora fatorando:

\(x^2 – 5x + 4 = (x-1)(x-4)\)

Então:

• \(x-1=0 \Rightarrow x=1\)
• \(x-4=0 \Rightarrow x=4\)

5) Verificar as restrições

\(x=1\) não pode (zera o denominador \(x-1\)).

\(x=4\) pode.

Resposta final

Conjunto solução: \(\{4\}\)

Alternativa correta: (D)