Na passagem do circo Mirage pela cidade de Pelotas, Joana e 7 amigas resolveram ir ao espetáculo. Dentre as 7 amigas de Joana estavam Maria e Carla. As meninas compraram oito lugares juntos, na primeira fila, bem de frente para o palco. Joana, Maria e Carla combinaram, e independentemente das demais amigas, elas deveriam sentar, três lado a lado, sem nenhuma amiga entre elas.

Considerando que Joana, Maria e Carla sentem juntas, sem nenhuma outra amiga entre elas, quantas são as possibilidades de todas as amigas sentarem nos oito assentos adquiridos?

(a) 5040 possibilidades.
(b) 720 possibilidades.
(c) 40320 possibilidades.
(d) 726 possibilidades.
(e) 4320 possibilidades.
(f) I.R.

Resolução

Há 8 meninas e 8 assentos em fila.

A condição “Joana, Maria e Carla sentam juntas, três lado a lado, sem ninguém entre elas” significa que as três devem ocupar três assentos consecutivos.

1) Formando um bloco

Vamos considerar o trio (Joana, Maria, Carla) como um único bloco de 3 lugares consecutivos.

Então, teremos:

• 1 bloco (J, M, C)
• mais as outras 5 amigas (as demais meninas)

Ou seja, ao todo são 6 “entidades” para posicionar: $$1 + 5 = 6.$$

2) Quantas posições o bloco pode ocupar?

Como o bloco ocupa 3 lugares consecutivos numa fila de 8, ele pode começar no assento:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$$

(pois se começasse no 7, iria até o 9, o que não existe).

Logo, o número de maneiras de escolher a posição do bloco é:

$$6\ \text{possibilidades}.$$

3) Ordem dentro do bloco

Dentro do bloco, Joana, Maria e Carla podem permutar de todas as formas:

$$3! = 6\ \text{formas}.$$

4) Arranjo das outras 5 amigas

Após fixar a posição do bloco, restam 5 assentos livres para as 5 amigas restantes, que podem sentar em qualquer ordem:

$$5! = 120\ \text{formas}.$$

5) Total de possibilidades

Multiplicamos as etapas independentes:

$$\text{Total} = 6 \cdot 3! \cdot 5! = 6 \cdot 6 \cdot 120 = 4320.$$

Resposta: (e) $$4320$$ possibilidades.