Pelotas é amplamente reconhecida por sua arquitetura singular e preservada, que revela traços importantes dos séculos passados. Entre suas características marcantes, destacam-se os ladrilhos hidráulicos presentes em edificações históricas e nas calçadas da cidade. Esse elemento ornamental é produzido por uma fábrica centenária ainda em atividade no município, a qual se tornou referência na confecção de peças decorativas que incorporam uma rica variedade de elementos geométricos em seus desenhos, como observada na figura a seguir.

Nessa perspectiva, considere que esse ladrilho hidráulico possui 10 cm de lado. Qual é a área correspondente à parte escura da imagem?

(a) 100 cm²
(b) 50 cm²
(c) 25 cm²
(d) 40 cm²
(e) 10 cm²
(f) I.R.

Resolução (detalhada)

O ladrilho é um quadrado de lado 10 cm, então sua área total é:

$$A_{\text{total}} = 10^2 = 100\ \text{cm}^2.$$

Pela figura, a parte clara é formada por 4 quadrados congruentes (os “losangos”), cada um com as diagonais alinhadas na horizontal e na vertical.

Observe que o “losango” do canto superior esquerdo tem:

• um vértice no meio do lado superior do ladrilho,
• um vértice no meio do lado esquerdo do ladrilho,
• e o vértice oposto desses dois aponta em direção ao interior.

Assim, a diagonal horizontal do quadrado claro vai do ponto médio esquerdo até o ponto médio vertical interno, medindo metade do lado do ladrilho. O mesmo vale para a diagonal vertical.

Logo, para cada quadrado claro:

$$d_1 = 5\ \text{cm}\quad \text{e}\quad d_2 = 5\ \text{cm}.$$

A área de um quadrado (ou losango) em função das diagonais é:

$$A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}.$$

Então, a área de um quadrado claro é:

$$A_{\text{claro,1}}=\frac{5\cdot 5}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5\ \text{cm}^2.$$

Como são 4 quadrados claros:

$$A_{\text{claro}}=4\cdot 12{,}5=50\ \text{cm}^2.$$

A parte escura é o que sobra da área total:

$$A_{\text{escuro}}=A_{\text{total}}-A_{\text{claro}}=100-50=50\ \text{cm}^2.$$

Resposta: (b) $$50\ \text{cm}^2$$