Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o filho mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.

De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?

A) 36
B) 53
C) 300
D) 360
E) 560

Resolução detalhada

Dados: são 8 presentes diferentes (incluindo bicicleta B e celular C) para três filhos: mais velho (V), do meio (M) e mais novo (N).

• V recebe 3 presentes
• M recebe 2 presentes
• N recebe 3 presentes

Condição: o mais velho recebe ou a bicicleta ou o celular, mas não ambos.

Fórmula de combinação

$$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Caso 1: V recebe a bicicleta (B) e não recebe o celular (C)

Passo 1: além de B, V precisa de mais 2 presentes escolhidos entre os outros 6 presentes (que não são B nem C).

$$C(6,2)=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6!}{2!\,4!}$$

Abrindo os fatoriais:

$$C(6,2)=\frac{6\cdot5}{2}=15$$

Passo 2: após entregar 3 presentes para V, restam 5 presentes. M deve receber 2 desses 5.

$$C(5,2)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\,3!}$$

Abrindo os fatoriais:

$$C(5,2)=\frac{5\cdot4}{2}=10$$

Total do Caso 1:

$$15\cdot10=150$$

Caso 2: V recebe o celular (C) e não recebe a bicicleta (B)

O raciocínio é idêntico ao Caso 1:

$$C(6,2)\cdot C(5,2)=15\cdot10=150$$

Total (soma dos casos)

Como os casos são mutuamente exclusivos (V recebe B ou C), somamos:

$$150+150=300$$

Resposta: 300 (alternativa C).