Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões 10 cm por 20 cm. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões é utilizada como a altura, as duas opções para formar a possível embalagem.

Entre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a

A) \(4000\pi\)
B) \(2000\pi\)
C) \(\frac{4000}{\pi}\)
D) \(\frac{1000}{\pi}\)
E) \(\frac{500}{\pi}\)

Resolução

As folhas têm dimensões 10 cm por 20 cm e formam a área lateral de um cilindro.

Em um cilindro, a área lateral é um retângulo cuja:

• uma medida vira a altura \(h\)
• a outra medida vira o comprimento da circunferência da base \(C\)

E sabemos que:

$$C = 2\pi r$$

$$V = \pi r^2 h$$

Embalagem 1

Pela figura, a altura é \(h=20\) e a circunferência é \(C=10\).

Calculando o raio:

$$2\pi r = 10 \;\Rightarrow\; r=\frac{10}{2\pi}=\frac{5}{\pi}$$

Volume:

$$V_1=\pi\left(\frac{5}{\pi}\right)^2\cdot 20$$

$$V_1=\pi\cdot\frac{25}{\pi^2}\cdot 20=\frac{25}{\pi}\cdot 20=\frac{500}{\pi}$$

Embalagem 2

Pela figura, a altura é \(h=10\) e a circunferência é \(C=20\).

Calculando o raio:

$$2\pi r = 20 \;\Rightarrow\; r=\frac{20}{2\pi}=\frac{10}{\pi}$$

Volume:

$$V_2=\pi\left(\frac{10}{\pi}\right)^2\cdot 10$$

$$V_2=\pi\cdot\frac{100}{\pi^2}\cdot 10=\frac{100}{\pi}\cdot 10=\frac{1000}{\pi}$$

Comparação

Como:

$$\frac{1000}{\pi} > \frac{500}{\pi}$$

a embalagem de maior capacidade é a Embalagem 2.

Resposta

\(\dfrac{1000}{\pi}\) (Alternativa D).