Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto de 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.
Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base na base.
O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a massa, em grama, dessa escultura?
(A) 1 198,8 (B) 1 296,0 (C) 1 360,8 (D) 4 665,6 (E) 4 860,0
Resolução
1) Dados do cone maior
Altura do cone maior: \(H = 36\) cm
Diâmetro da base: \(18\) cm \(\Rightarrow\) raio \(R = 9\) cm
2) Cone menor removido (para formar o tronco)
Diâmetro da base do cone menor: \(6\) cm \(\Rightarrow\) raio \(r = 3\) cm
Semelhança entre cones
Como o cone menor e o cone maior são semelhantes (mesma forma, alinhados no mesmo eixo), a razão entre os raios é igual à razão entre as alturas:
\(\dfrac{r}{R} = \dfrac{h_{\text{menor}}}{H}\)
Substituindo:
\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{h_{\text{menor}}}{36}\)
\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{h_{\text{menor}}}{36}\Rightarrow h_{\text{menor}} = 12\) cm
Logo, a altura do tronco é:
\(h = 36 – 12 = 24\) cm
3) Volume do tronco como diferença de cones (usando semelhança)
Volume do cone maior
\(V_{\text{maior}}=\dfrac{1}{3}\pi R^2H\)
\(V_{\text{maior}}=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 9^2\cdot 36=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 81\cdot 36\)
\(V_{\text{maior}}=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 2916 = 972\pi\)
Volume do cone menor
\(V_{\text{menor}}=\dfrac{1}{3}\pi r^2h_{\text{menor}}\)
\(V_{\text{menor}}=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 12=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 12\)
\(V_{\text{menor}}=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 108 = 36\pi\)
Então, o volume do tronco é a diferença:
\(V_t = V_{\text{maior}} – V_{\text{menor}} = 972\pi – 36\pi = 936\pi\)
Como a questão pede \(\pi \approx 3\):
\(V_t \approx 936\cdot 3 = 2808\ \text{cm}^3\)
4) Volume do cilindro perfurado
Diâmetro do cilindro: \(6\) cm \(\Rightarrow\) raio \(=3\) cm
A perfuração atravessa o tronco, então a altura do cilindro é \(24\) cm.
\(V_c=\pi r^2h=\pi\cdot 3^2\cdot 24=\pi\cdot 9\cdot 24=216\pi\)
Com \(\pi \approx 3\):
\(V_c \approx 216\cdot 3 = 648\ \text{cm}^3\)
5) Volume final da escultura
\(V = V_t – V_c \approx 2808 – 648 = 2160\ \text{cm}^3\)
6) Massa da escultura
Densidade: \(0{,}6\ \text{g/cm}^3\)
\(m = 0{,}6\cdot 2160 = 1296\ \text{g}\)
Resposta: \(1296{,}0\) g (alternativa B).