Num certo momento de um jogo digital, a tela apresenta a imagem representada na figura. O ponto Q₁ representa a posição de um jogador que está com a bola, e os pontos Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ e Q₆ também indicam posições de jogadores da mesma equipe, e os pontos A e B indicam os dois pés da trave mais próxima deles. No momento da partida retratado, o jogador Q₁ tem a posse da bola, que será passada para um dos outros jogadores das posições Q_n, \(n \in \{2,3,4,5,6\}\), cujo ângulo \(AQ_nB\) tenha a mesma medida do ângulo \(\alpha = \angle AQ_1B\).

Pergunta: Qual é o jogador que receberá a bola?

A) \(Q_2\)
B) \(Q_3\)
C) \(Q_4\)
D) \(Q_5\)
E) \(Q_6\)

Resolução

1) Os pontos A e B são fixos (as extremidades da trave). Então, o “segmento” \(AB\) é fixo. O que muda é o ponto onde está o jogador (por exemplo, \(Q_1, Q_2, \dots\)).

2) O ângulo \(\angle AQ_1B\) é um ângulo inscrito que “enxerga” o segmento \(AB\) (a corda \(AB\) de uma circunferência). Pela propriedade do ângulo inscrito:

\[ \text{Se dois pontos } P \text{ e } R \text{ estão na mesma circunferência passando por } A \text{ e } B,\text{ então } \angle APB = \angle ARB. \]

Ou seja: todos os pontos de uma mesma circunferência que passa por A e B enxergam a corda \(AB\) sob o mesmo ângulo (desde que estejam no mesmo arco correspondente).

3) Assim, para que \(\angle AQ_nB\) tenha a mesma medida de \(\alpha = \angle AQ_1B\), o ponto \(Q_n\) deve estar na mesma circunferência que passa por \(A\), \(B\) e \(Q_1\).

4) Observando a figura, o ponto \(Q_5\) está sobre a mesma linha pontilhada (mesmo arco/circunferência) que contém \(Q_1\). Já \(Q_2\), \(Q_3\) e \(Q_4\) estão em circunferências internas (ângulo diferente), e \(Q_6\) está em uma circunferência mais externa (ângulo diferente).

Logo, o único que satisfaz \(\angle AQ_nB = \angle AQ_1B\) é:

\[ Q_n = Q_5. \]

Resposta: D) \(Q_5\).