Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimento \(L\) metro e \(C\) metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento \(L\) metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R\$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R\$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R\$ 6000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.

Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?

A) 85
B) 100
C) 175
D) 200
E) 350

Resolução (sem uso de derivadas)

O galinheiro tem formato retangular, com lados \(L\) e \(C\).

• Os dois lados de comprimento \(L\) usam tela de R$ 20,00 por metro.
• Os dois lados de comprimento \(C\) usam tela de R$ 15,00 por metro.

1) Montando a equação do custo

O custo total da cerca é:

\[ 2\cdot 20\cdot L + 2\cdot 15\cdot C = 6000 \]

\[ 40L + 30C = 6000 \]

Dividindo toda a equação por 10:

\[ 4L + 3C = 600 \]

2) Isolando uma das variáveis

Isolando \(C\):

\[ 3C = 600 – 4L \]

\[ C = 200 – \frac{4}{3}L \]

3) Usando a ideia de produto máximo

A área do galinheiro é:

\[ A = L\cdot C \]

Substituindo \(C\):

\[ A = L\left(200 – \frac{4}{3}L\right) \]

\[ A = 200L – \frac{4}{3}L^2 \]

Essa expressão representa o produto de dois números positivos com soma limitada. Nesse tipo de situação, a área máxima ocorre quando os valores ficam o mais equilibrados possível, respeitando os pesos da equação.

4) Testando valores possíveis

Vamos testar valores simples de \(L\):

• Se \(L = 50\):
  \[ C = 200 – \frac{4}{3}\cdot 50 = 133{,}3 \Rightarrow A \approx 6667 \]
• Se \(L = 75\):
  \[ C = 200 – \frac{4}{3}\cdot 75 = 100 \Rightarrow A = 7500 \]
• Se \(L = 100\):
  \[ C = 200 – \frac{4}{3}\cdot 100 = 66{,}7 \Rightarrow A \approx 6667 \]

Percebe-se que a maior área ocorre quando \(L = 75\) e \(C = 100\).

5) Conclusão

Os lados do galinheiro são:

\[ 75\ \text{m} \quad \text{e} \quad 100\ \text{m} \]

Logo, o maior lado mede:

100 metros.

Resposta: B) 100.