Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é \(P\) e área da base é \(A_b\), como segue:
- modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;
- modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;
- modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;
- modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.
Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica.
O modelo escolhido deve ser o
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução (passo a passo)
A capacidade (volume) de um cilindro é:
\[ V = A_b \cdot P \]
onde \(A_b\) é a área da base e \(P\) é a profundidade (altura) do cilindro.
Modelo I
\[ V_1 = A_b \cdot P \]
Modelo II
Profundidade dobra: \(2P\).
Área da base cai pela metade: \(\dfrac{A_b}{2}\).
\[ V_2 = \left(\frac{A_b}{2}\right)\cdot (2P)=A_b\cdot P=V_1 \]
Modelo III
Profundidade dobra: \(2P\).
Raio fica pela metade. Se o raio do modelo I é \(r\), então no modelo III é \(\dfrac{r}{2}\).
Como \(A_b=\pi r^2\), ao reduzir o raio pela metade, a área vira:
\[ A_{b,3}=\pi\left(\frac{r}{2}\right)^2=\pi\frac{r^2}{4}=\frac{A_b}{4} \]
Então:
\[ V_3 = \left(\frac{A_b}{4}\right)\cdot (2P)=\frac{A_bP}{2}=\frac{V_1}{2} \]
Modelo IV
Profundidade pela metade: \(\dfrac{P}{2}\).
Área da base dobra: \(2A_b\).
\[ V_4=(2A_b)\cdot\left(\frac{P}{2}\right)=A_b\cdot P=V_1 \]
Modelo V
Profundidade pela metade: \(\dfrac{P}{2}\).
Raio dobra. Se o raio do modelo I é \(r\), então no modelo V é \(2r\).
Logo, a área da base fica:
\[ A_{b,5}=\pi(2r)^2=\pi\cdot 4r^2=4A_b \]
Então:
\[ V_5=(4A_b)\cdot\left(\frac{P}{2}\right)=2A_bP=2V_1 \]
Conclusão
Comparando:
\[ V_1=V_2=V_4,\quad V_3=\frac{V_1}{2},\quad V_5=2V_1 \]
O maior volume é o do modelo V.
Resposta: alternativa E) V.