Para abrir a porta de uma empresa, cada funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado alfanumérico como o representado na figura.

Por exemplo: a tecla que contém o número 2 traz as letras correlacionadas A, B e C. Cada toque nesta tecla mostra, sequencialmente, os seguintes caracteres: 2, A, B e C. Para os próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas funcionam da mesma maneira.

As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem conter 5 caracteres, sendo 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem.

Um funcionário irá cadastrar a sua primeira senha, podendo escolher entre as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas letras correlacionadas, quando houver.

O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é

A) 11520.
B) 14400.
C) 18000.
D) 312000.
E) 390000.

Resolução

O funcionário só pode usar as teclas dos números \(\{0,1,2,5,7\}\). A senha tem 5 caracteres, na forma:

\[ \underbrace{\text{(algarismo)}}_{1^\circ}\; \underbrace{\text{(algarismo)}}_{2^\circ}\; \underbrace{\text{(letra)}}_{3^\circ}\; \underbrace{\text{(letra)}}_{4^\circ}\; \underbrace{\text{(letra)}}_{5^\circ} \]

1) Escolha dos 2 algarismos distintos

Há 5 algarismos possíveis: \(\{0,1,2,5,7\}\).

Como são distintos e a ordem importa (ex.: 12 é diferente de 21):

\[ 5 \cdot 4 = 20 \]

2) Escolha das 3 letras diferentes

As letras disponíveis são apenas as correlacionadas às teclas 2, 5 e 7:

• Tecla 2: \(\{A,B,C\}\) (3 letras)
• Tecla 5: \(\{J,K,L\}\) (3 letras)
• Tecla 7: \(\{P,Q,R,S\}\) (4 letras)

Total de letras possíveis:

\[ 3+3+4 = 10 \]

Como precisam ser 3 letras diferentes e a ordem importa:

\[ 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \]

3) Total de senhas

Multiplicamos as possibilidades dos algarismos pelas das letras:

\[ 20 \cdot 720 = 14400 \]

Resposta: B) 14400.