Uma folha de papel retangular ABCD com lados medindo 6 e 4 é dobrada, de modo que o vértice A fique sobre o lado \overline{BC}, como mostra a figura a seguir.
A área do triângulo EAD sombreado é
UFRGS · 2025
Questão 66 — UFRGS 2025
Antes da resolução
Tente a questão primeiro. Use a resolução para conferir o raciocínio, não para substituir sua tentativa.
Pista
Na dobradura, a linha de dobra é a mediatriz do segmento que liga o vértice original à sua imagem. Use primeiro as igualdades de distância criadas pela reflexão.
Resolução
O que você precisa saber
- Dobradura e reflexão
- Mediatriz e equidistância
- Área de triângulo
O que enxergar
1. Leia a dobra na figura
Chame de A₀ o vértice original do retângulo, antes da dobra. Depois da dobra, esse vértice vai para o ponto A que aparece sobre BC.
Como E e D pertencem à linha de dobra, ambos ficam à mesma distância de A₀ e de A.
EA_0=EA\qquad\text{e}\qquad DA_0=DA2. Localize o ponto A sobre BC
No retângulo, DA_0=6. Logo, pela reflexão, DA=6.
Se BA=x, então AC=6-x. No triângulo retângulo ACD:
6^2=(6-x)^2+4^2(6-x)^2=20x=6-2\sqrt53. Determine a posição de E
Se BE=e, então EA_0=4-e. Como EA_0=EA:
(4-e)^2=x^2+e^2Com x=6-2\sqrt5, obtemos
e=-5+3\sqrt54. Use a própria reflexão para calcular a área
O triângulo A₀ED é refletido exatamente no triângulo sombreado AED. Portanto, eles têm a mesma área.
No triângulo A_0ED, a base A_0D mede 6 e a altura até E mede 4-e.
A_{AED}=A_{A_0ED}=\frac{6(4-e)}{2}5. Calcule
A_{AED}=3\left[4-\left(-5+3\sqrt5\right)\right]A_{AED}=3(9-3\sqrt5)A_{AED}=27-9\sqrt5Resposta
27-9\sqrt5
Alternativa correta
D