Com relação ao gráfico da função \(f(x) = 2x^2 + 10x + 12\) é incorreto afirmar que:

(A) O domínio da função está definido para todos os números reais.

(B) O gráfico intercepta o eixo \(Oy\) no ponto \((0, 12)\).

(C) O vértice é o ponto \(V(-5/2, -1/2)\).

(D) O gráfico é sempre crescente.

(E) O gráfico intercepta o eixo \(Ox\) em dois pontos distintos.

Resolução

A função \(f(x) = 2x^2 + 10x + 12\) é uma função do 2º grau. O gráfico dela é uma parábola.

Como o número que acompanha o \(x^2\) é \(2\) (positivo), a parábola fica com a “boca” para cima. Isso é importante para entender se ela cresce ou diminui.

(A) Domínio

Uma função do 2º grau pode receber qualquer número real no lugar do \(x\). Então o domínio é mesmo todos os reais.

(A) é verdadeira.

(B) Intercepto no eixo \(Oy\)

Para achar onde corta o eixo \(Oy\), fazemos \(x = 0\).

\(f(0) = 2\cdot 0^2 + 10\cdot 0 + 12 = 12\)

Então o ponto é \((0, 12)\).

(B) é verdadeira.

(C) Vértice

A fórmula do \(x\) do vértice é:

\(x_v = -\dfrac{b}{2a}\)

Aqui \(a = 2\) e \(b = 10\). Então:

\(x_v = -\dfrac{10}{2\cdot 2} = -\dfrac{10}{4} = -\dfrac{5}{2}\)

Agora vamos achar \(y_v\), substituindo \(x = -\dfrac{5}{2}\) na função:

\(f(-5/2) = 2(-5/2)^2 + 10(-5/2) + 12\)

Vamos por partes:

• \((-5/2)^2 = 25/4\)
• \(2 \cdot 25/4 = 50/4 = 25/2\)
• \(10 \cdot (-5/2) = -50/2 = -25\)

Agora somando tudo:

\(f(-5/2) = 25/2 – 25 + 12\)

Transformando 25 em fração com denominador 2: \(25 = 50/2\). E 12 = 24/2.

\(f(-5/2) = 25/2 – 50/2 + 24/2 = (25 – 50 + 24)/2 = -1/2\)

Então o vértice é mesmo:

\(V(-5/2, -1/2)\)

(C) é verdadeira.

(E) Interceptos no eixo \(Ox\)

Para saber se corta o eixo \(Ox\) em dois pontos, vemos se a equação \(2x^2 + 10x + 12 = 0\) tem duas soluções. Vamos fatorar:

Primeiro, podemos dividir tudo por 2:

\(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Agora fatorando:

\(x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)\)

Então:

• \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\)
• \(x+3=0 \Rightarrow x=-3\)

São dois valores diferentes, então corta o eixo \(Ox\) em dois pontos distintos.

(E) é verdadeira.

(D) O gráfico é sempre crescente

Uma parábola com “boca para cima” não é sempre crescente.

• Ela desce até chegar no vértice (ponto mais baixo).
• Depois do vértice, ela sobe (cresce).

Então ela não cresce o tempo todo. Ela primeiro diminui e depois cresce.

Logo, (D) é a afirmação incorreta.

Resposta final: (D)