Considere a função quadrática com as seguintes características:

• $f(x)=ax^2+bx+c,$
• concavidade voltada para baixo,
• raízes reais e diferentes, sendo $x’=2$ e $x”=6,$
• ordenada do vértice é igual a $4.$

Nessa função, o ponto C, que intercepta o eixo das ordenadas, é:

(A) C (0, -12)
(B) C (13, 12)
(C) C (0, 35)
(D) C (4, 0)
(E) C (12, 0)

Resolução

1) Usar as raízes para montar a função

Se as raízes são $2$ e $6$, isso quer dizer que a função zera nesses pontos. Então ela pode ser escrita assim:

$$f(x)=a(x-2)(x-6)$$

O número $a$ é um valor que “multiplica” tudo. Como a concavidade é voltada para baixo, já sabemos que:

$$a<0$$

2) Encontrar o x do vértice

Quando temos duas raízes, o x do vértice fica bem no meio delas:

$$x_v=\frac{2+6}{2}=4$$

3) Usar a ordenada do vértice (y do vértice)

O enunciado diz que a ordenada do vértice é 4, ou seja:

$$f(4)=4$$

Vamos calcular $f(4)$ usando $f(x)=a(x-2)(x-6)$:

$$f(4)=a(4-2)(4-6)$$

$$f(4)=a\cdot 2\cdot (-2)$$

$$f(4)=-4a$$

Mas sabemos que $f(4)=4$, então:

$$-4a=4$$

$$a=-1$$

4) Agora encontrar o ponto que corta o eixo y (eixo das ordenadas)

O eixo y é onde $x=0$. Então precisamos calcular:

$$f(0)$$

Com $a=-1$:

$$f(x)=-(x-2)(x-6)$$

Agora:

$$f(0)=-(0-2)(0-6)$$

$$f(0)= -((-2)\cdot(-6))$$

$$f(0)=-(12)=-12$$

Então o ponto que intercepta o eixo y é:

C = (0, -12)

Resposta: (A) C (0, -12)