Crescimento
2, 6, 18, 54, ...
PROGRESSÃO GEOMÉTRICANa PG, cada passo
Na PG, cada passo
multiplica a base anterior.
A razão de uma PG é o fator constante que transforma um termo no seguinte. Por isso, seu comportamento é multiplicativo e se conecta diretamente às funções exponenciais.
TERMO GERAL
A posição determina quantas vezes a razão atua.
\[a_n=a_1q^{n-1}\]
Na PG 3, 6, 12, 24, ... temos a₁ = 3 e q = 2:
\[a_6=3\cdot2^5=96\]
O valor de q muda completamente a leitura.
Decaimento
80, 40, 20, 10, ...
Constante
5, 5, 5, 5, ...
Alternância
3, −6, 12, −24, ...
Encontre um termo.
Na PG 2, 6, 18, ...:
\[a_7=2\cdot3^6=1458\]
Descubra a razão.
Se a₂ = 12 e a₅ = 324:
\[\frac{a_5}{a_2}=q^3=27\Rightarrow q=3\]
Percentual vira fator.
Crescer 20% por período significa:
\[q=1+0{,}20=1{,}20\]
SOMA FINITA
Quando q ≠ 1, a soma tem estrutura própria.
\[S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}\]
Para 1, 2, 4, 8, 16:
\[S_5=1\cdot\frac{2^5-1}{2-1}=31\]
Crescimento percentual repetido é PG.
Uma população de bactérias começa com 500 indivíduos e dobra a cada hora. Quantas haverá após 6 horas?
INTERPRETAR. Dobrar significa multiplicar por 2 a cada período.
ESTRUTURAR. Valor inicial = 500; fator q = 2; seis horas significam seis multiplicações a partir do instante inicial.
CALCULAR.
\[500\cdot2^6=32000\]
CONFERIR. Aqui o instante inicial corresponde a t = 0; por isso o expoente é 6.
ERROS
Em PG, índice e quantidade de multiplicações precisam ser distinguidos.
01. Usar n no expoente quando a sequência começa em a₁.
02. Somar a razão em vez de multiplicar.
03. Aplicar soma infinita quando |q| ≥ 1.
04. Confundir taxa percentual com fator multiplicativo.