Otávio e Fernanda estavam resolvendo desafios matemáticos, quando Fernanda propôs a Otávio a seguinte adição de termos iguais:

$$125^{2025} + 125^{2025} + 125^{2025} + \ldots + 125^{2025} = 125^{2026}$$

Fernanda perguntou: Quantos sinais de adição (+) deve ter a expressão completa?

Otávio respondeu corretamente o número de sinais de adição, que é:

(A) 124
(B) 125
(C) 2025
(D) 2026
(E) 250

Resolução

Na expressão, todos os termos do lado esquerdo são iguais a \(125^{2025}\).

Suponha que existam n termos \(125^{2025}\) somados:

$$\underbrace{125^{2025}+125^{2025}+\cdots+125^{2025}}_{n\ \text{termos}} = 125^{2026}$$

Somar \(n\) termos iguais é o mesmo que multiplicar:

$$n\cdot 125^{2025} = 125^{2026}$$

Agora, dividimos os dois lados por \(125^{2025}\):

$$n = \frac{125^{2026}}{125^{2025}}$$

Usando a propriedade de potências:

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Então:

$$n = 125^{2026-2025} = 125^1 = 125$$

Ou seja, existem 125 termos no lado esquerdo.

Quantidade de sinais de “+”

Se há \(n\) termos somados, então há:

$$n-1$$

sinais de adição (pois entre 125 termos, o “+” aparece apenas entre os termos).

Logo:

$$\text{número de sinais de }+ = 125-1 = 124$$

Resposta

124 (Alternativa A).