Em uma cidade, será construído um túnel que atravessará uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.

O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicírculo reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.

O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.

Considere 3 como aproximação para π e desconsidere as espessuras das muretas.

O Projeto a ser aprovado é

A) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m².
B) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m².
C) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m².
D) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m².
E) qualquer um dos dois, pois apresentam áreas das suas seções transversais com medidas iguais.

Resolução detalhada

1) Ideia principal

A seção transversal de cada túnel é um semicírculo. A área de um semicírculo é metade da área de um círculo:

$$A_{\text{semicírculo}}=\frac{1}{2}\pi r^2$$

E o raio $r$ é metade do diâmetro.

Projeto 1 (dois túneis)

Túnel para automóveis

• Diâmetro = 12 m $\Rightarrow$⇒ raio $r = 12/2 = 6$m

$$A_1=\frac{1}{2}\pi\cdot 6^2=\frac{1}{2}\pi\cdot 36=18\pi$$

Túnel para bicicletas

• Diâmetro = 6 m $\Rightarrow$⇒ raio $r = 6/2 = 3$m

$$A_2=\frac{1}{2}\pi\cdot 3^2=\frac{1}{2}\pi\cdot 9=4{,}5\pi$$

Área total do Projeto 1

$$A_{P1}=A_1+A_2=18\pi+4{,}5\pi=22{,}5\pi$$

Usando $\pi \approx 3$$$A_{P1}=22{,}5\cdot 3=67{,}5\ \text{m}^2$$

Projeto 2 (um túnel só)

Na base do semicírculo, a largura total é:

$$3+6+6+3=18\ \text{m}$$

Logo:

• Diâmetro = 18 m $\Rightarrow$⇒ raio $r = 18/2 = 9$m

$$A_{P2}=\frac{1}{2}\pi\cdot 9^2=\frac{1}{2}\pi\cdot 81=40{,}5\pi$$

Com $\pi \approx 3$:$$A_{P2}=40{,}5\cdot 3=121{,}5\ \text{m}^2$$

3) Comparação e conclusão

• Projeto 1: $67{,}5\ \text{m}^2$
• Projeto 2: $121{,}5\ \text{m}^2$

A menor área é a do Projeto 1, então ele exige menos material retirado da montanha.

✅ Resposta: A) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m².