A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de ler mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.

Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.

Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.

A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por:

A) \( \frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{1}{25} \)

B) \( \frac{24}{25}+\frac{23}{24}+\frac{1}{23} \)

C) \( \frac{1}{25}\cdot\frac{1}{24}\cdot\frac{1}{23} \)

D) \( \frac{24}{25}\cdot\frac{23}{25}\cdot\frac{1}{25} \)

E) \( \frac{24}{25}\cdot\frac{23}{24}\cdot\frac{1}{23} \)

Resolução

Como a mensagem foi codificada, o “A” não pode ter sido substituído por “A”. Logo, existem \(25\) padrões possíveis (um para cada letra diferente de “A” que poderia substituir o “A”).

Para descobrir apenas na terceira tentativa, deve ocorrer:

• Errar na primeira tentativa;
• Errar na segunda tentativa, sem repetir a primeira;
• Acertar na terceira tentativa, sem repetir as anteriores.

Probabilidade de errar na primeira tentativa:

\( P_1=\frac{24}{25} \)

Depois de errar uma vez, restam \(24\) padrões. Probabilidade de errar na segunda tentativa:

\( P_2=\frac{23}{24} \)

Depois de errar duas vezes, restam \(23\) padrões. Probabilidade de acertar na terceira tentativa:

\( P_3=\frac{1}{23} \)

Multiplicando as probabilidades:

\( P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 \)

\( P = \frac{24}{25}\cdot\frac{23}{24}\cdot\frac{1}{23} \)

Resposta: Alternativa E