A densidade demográfica de uma região é definida como sendo a razão entre o número de habitantes dessa região e sua área, expressa na unidade habitantes por quilômetro quadrado.

Uma região $R$ é subdividida em várias outras, sendo uma delas a região $Q$. A área de $Q$ é igual a três quartos da área de $R$, e o número de habitantes de $Q$ é igual à metade do número de habitantes de $R$. As densidades demográficas correspondentes a essas regiões são denotadas por $d(Q)$ e $d(R)$.

A expressão que relaciona $d(Q)$ e $d(R)$ é

A) $d(Q)=\dfrac{1}{4}\,d(R)$

B) $d(Q)=\dfrac{1}{2}\,d(R)$

C) $d(Q)=\dfrac{3}{4}\,d(R)$

D) $d(Q)=\dfrac{3}{2}\,d(R)$

E) $d(Q)=\dfrac{2}{3}\,d(R)$

A densidade demográfica é definida por:

$$
d=\frac{\text{número de habitantes}}{\text{área}}.
$$

Sejam:

• $H_R$ o número de habitantes da região $R$
• $A_R$ a área da região $R$

Então:

$$
d(R)=\frac{H_R}{A_R}.
$$

De acordo com o enunciado:

$$
A_Q=\frac{3}{4}A_R
$$

$$
H_Q=\frac{1}{2}H_R
$$

Agora calculamos a densidade da região $Q$:

$$
d(Q)=\frac{H_Q}{A_Q}
$$

Substituindo os valores:

$$
d(Q)=\frac{\frac{1}{2}H_R}{\frac{3}{4}A_R}
$$

Dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo inverso:

$$
d(Q)=\frac{1}{2}H_R \cdot \frac{4}{3A_R}
$$

Multiplicando as frações:

$$
d(Q)=\frac{4}{6}\cdot \frac{H_R}{A_R}
$$

Simplificando:

$$
d(Q)=\frac{2}{3}\cdot \frac{H_R}{A_R}
$$

Como:

$$
\frac{H_R}{A_R}=d(R)
$$

Concluímos que:

$$
d(Q)=\frac{2}{3}d(R)
$$

Resposta correta:

E) $d(Q)=\dfrac{2}{3}d(R)$