Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de o cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

A) 20

B) 60

C) 64

D) 68

E) 80

Resolução

O cliente ganha o voucher se tirar:

• uma bolinha preta na urna A
• e uma bolinha preta na urna B

Como as retiradas são em urnas diferentes, podemos multiplicar as probabilidades:

$P(\text{voucher}) = P(A\ \text{preta}) \cdot P(B\ \text{preta})$

1) Condição para a promoção ficar com chance menor ou igual a 1%

Sabemos que $P(A\ \text{preta}) = 20% = 0,2$.

Queremos:

$P(\text{voucher}) \le 1% = 0,01$

Então:

$0,2 \cdot P(B\ \text{preta}) \le 0,01$

Dividindo ambos os lados por $0,2$:

$P(B\ \text{preta}) \le 0,01/0,2 = 0,05$

Ou seja, a urna B deve ficar com probabilidade de preta no máximo 5%.

2) Descobrindo quantas bolinhas brancas já existem na urna B

O enunciado diz que atualmente $P(B\ \text{preta}) = 25% = 0,25$ e que há 4 bolinhas pretas na urna B.

Se a urna B tem 4 pretas e $w$ brancas, então:

$P(B\ \text{preta}) = 4/(4+w)$

Como isso vale $0,25$:

$4/(4+w) = 0,25$

Multiplicando:

$4 = 0,25(4+w)$

$4 = 1 + 0,25w$

$3 = 0,25w$

$w = 3/0,25 = 12$

Então, atualmente a urna B tem:

• 4 pretas
• 12 brancas
• total $= 16$ bolinhas

3) Adicionando x bolinhas brancas e impondo a condição de 5%

Se adicionarmos $x$ bolinhas brancas, o total vira $16 + x$ e a probabilidade de preta vira:

$P(B\ \text{preta}) = 4/(16+x)$

Queremos:

$4/(16+x) \le 0,05$

Multiplicando ambos os lados por $(16+x)$ (que é positivo):

$4 \le 0,05(16+x)$

Calculando:

$4 \le 0,8 + 0,05x$

$4 – 0,8 \le 0,05x$

$3,2 \le 0,05x$

Dividindo por $0,05$:

$x \ge 3,2/0,05 = 64$

Conclusão: o número mínimo de bolinhas brancas a adicionar é $64$.

Resposta: C) 64