Em um estudo clínico, 55 mulheres foram distribuídas, aleatoriamente, em 5 grupos de 11 pessoas. Para testar uma nova medicação, será escolhido um grupo no qual a maioria das mulheres tenha idades entre 20 e 30 anos. Os demais grupos tomarão placebo ou medicações já existentes no mercado. O quadro, parcialmente preenchido, informa alguns dados relativos às idades das mulheres desses grupos.

Mesmo com o quadro incompleto, foi possível selecionar um desses grupos porque, apenas com os dados apresentados no quadro, foi identificado um grupo que, certamente, atendia ao critério de escolha.

O grupo escolhido foi o

A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.

Resolução detalhada (bem compreensível)

1) O que significa “atender com certeza”?

O enunciado diz que, mesmo com dados faltando, dá para escolher um grupo que com certeza tem maioria das idades entre 20 e 30.

Como cada grupo tem 11 mulheres, “maioria” significa pelo menos 6 mulheres entre 20 e 30.

Então precisamos achar um grupo em que os dados garantam isso — sem “depender” de como são as idades escondidas.

2) Observando os grupos

• Grupo 5: menor 20 e maior 35.
  Isso não garante maioria entre 20 e 30, porque poderia ter muitas mulheres com 31 a 35.
• Grupo 3: moda 25.
  Ter moda 25 não garante maioria entre 20 e 30.
• Grupo 2: mediana 25 e desvio padrão 9.
  Mediana 25 também não garante maioria entre 20 e 30 (pode haver muitos valores fora).
• Grupo 1: média 25 e desvio padrão 10.
  Desvio padrão 10 é grande, então pode ter várias idades fora do intervalo.
• Grupo 4: média 25 e desvio padrão 1.
  Aqui está o dado mais forte: desvio padrão muito pequeno significa que as idades são muito próximas de 25.

Vamos provar que isso garante que todas (ou quase todas) estão entre 20 e 30.

3) A ideia do desvio padrão (interpretação matemática)

O desvio padrão mede “o quanto” os valores se afastam da média.

Se a média é 25 e o desvio padrão é 1, então não dá para existir alguém com idade muito longe de 25, porque isso faria o desvio padrão “explodir”.

Prova usando soma dos quadrados dos desvios

No ENEM, o desvio padrão $\sigma$ (populacional) satisfaz:

$$\sigma^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}$$

No grupo 4:

• $\bar{x}=25$
• $\sigma = 1 \Rightarrow \sigma^2=1$
• $n=11$

Então:

$$1=\frac{\sum (x_i-25)^2}{11} \quad\Rightarrow\quad \sum (x_i-25)^2 = 11$$

Agora pense: se existisse UMA mulher com idade fora de 20 a 30, por exemplo 31 anos, ela estaria a:

$$31-25=6 \text{ anos da média}$$

O quadrado desse desvio seria:

$$6^2 = 36$$

Mas isso seria impossível, porque a soma de todos os quadrados dos desvios é apenas 11:

$$\sum (x_i-25)^2 = 11$$

Ou seja, não cabe um desvio quadrático de 36 dentro de uma soma total 11.

✅ Então não pode existir ninguém com idade 31 (nem 19, nem 32 etc.).

Na verdade, como a soma total é 11, o maior desvio possível $d$ teria que satisfazer:$$d^2 \le 11 \Rightarrow d \le \sqrt{11}\approx 3{,}3$$

Logo, toda idade $x$ do grupo 4 está no intervalo:

$$25-3{,}3 \le x \le 25+3{,}3$$

$$21{,}7 \le x \le 28{,}3$$

✅ Esse intervalo está totalmente dentro de 20 a 30.

Portanto, no Grupo 4, todas as 11 mulheres têm idade entre 20 e 30 (e, com isso, a maioria é garantida).

Conclusão

O único grupo que, pelos dados fornecidos, certamente atende ao critério é o:

✅ Grupo 4

Gabarito

✅ Alternativa D) 4.