Uma empresa produziu, em um determinado mês, 110 toneladas de plástico a partir de derivados do petróleo e 80 toneladas a partir de plásticos reciclados. O custo para reciclar uma tonelada de plástico é de R\$ 500,00, o que equivale a 5% do custo para produzir a mesma quantidade de plástico a partir de derivados do petróleo. Para o mês seguinte, a meta dessa empresa é produzir a mesma quantidade de plástico que foi produzida nesse mês, mas com redução de, pelo menos, 50% no custo de produção.

Para que no mês seguinte a empresa atinja a meta, a quantidade mínima de toneladas de plástico que devem ser produzidas a partir de reciclagem deverá ser

A) 135.
B) 140.
C) 155.
D) 160.
E) 175.

Resolução detalhada

1) Total produzido no mês

A empresa produziu:

$$110 + 80 = 190 \text{ toneladas}$$

No mês seguinte, ela quer produzir o mesmo total, ou seja, 190 toneladas.

2) Descobrir o custo por tonelada do plástico “do petróleo”

O enunciado diz que:

• reciclar 1 tonelada custa R$ 500,00
• isso é 5% do custo de produzir 1 tonelada a partir do petróleo

Então, se $C$ é o custo por tonelada do petróleo:

$$500 = 0{,}05\cdot C$$$$C = \frac{500}{0{,}05} = 10000$$

Logo, 1 tonelada a partir do petróleo custa R\$ 10.000,00.

3) Custo total do mês atual

• 110 t do petróleo: $110 \cdot 10000 = 1\,100\,000$
• 80 t recicladas: $80 \cdot 500 = 40\,000$

$$\text{Custo atual} = 1\,100\,000 + 40\,000 = 1\,140\,000$$

4) Meta do próximo mês: reduzir pelo menos 50%

Reduzir pelo menos 50% significa que o novo custo deve ser no máximo a metade:

$$\text{Custo novo} \le \frac{1\,140\,000}{2} = 570\,000$$

5) Montar a expressão do custo no mês seguinte

Seja $x$ a quantidade (em toneladas) produzida por reciclagem no mês seguinte.

Então a quantidade produzida a partir do petróleo será:

$$190 – x$$

Custo total do mês seguinte:

$$\text{Custo}(x)=500x + 10000(190-x)$$

Agora vamos simplificar:

$$\text{Custo}(x)=500x + 1\,900\,000 – 10\,000x$$

$$\text{Custo}(x)=1\,900\,000 – 9\,500x$$

6) Impor a condição do custo máximo

$$1\,900\,000 – 9\,500x \le 570\,000$$

Passando $1\,900\,000$ para o outro lado:

$$-9\,500x \le -1\,330\,000$$

Dividindo por $-9\,500$(e invertendo o sinal da desigualdade):

$$x \ge \frac{1\,330\,000}{9\,500}$$

Calculando:

• $9\,500 \cdot 100 = 950\,000$
• sobra $1\,330\,000 – 950\,000 = 380\,000$
• $9\,500 \cdot 40 = 380\,000$

Logo:$$\frac{1\,330\,000}{9\,500} = 140$$

Assim, a quantidade mínima reciclada é:

$$\boxed{140 \text{ toneladas}}$$

Gabarito

✅ Alternativa B) 140.