Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser preenchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo $T$, em minuto, de acordo com uma função do tipo

$$D = k + \tg[p(T+m)],$$

sendo os parâmetros $k$, $p$ e $m$m números reais, para $T$ variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas as assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de $D$.

A expressão algébrica que representa a relação entre $D$ e $T$ é

A) $D = 2{,}5 + \tg\!\left[30\left(T-\dfrac{5-2\pi}{2}\right)\right]$

B) $D = 4 + \tg\!\left[30\left(T+\dfrac{5}{2}\right)\right]$

C) $D = 4 + \tg\!\left[2{,}5\left(T+\dfrac{5+2\pi}{2}\right)\right]$

D) $D = 30 + \tg\!\left[\dfrac{1}{2}(T-5)\right]$

E) $D = 30 + \tg\!\left[\dfrac{1}{2}\left(T-\dfrac{5}{2}\right)\right]$

Resolução detalhada

A função é:

$$D = k + \tg\big(p(T+m)\big)$$

1) Usando as assíntotas verticais da tangente

A função $\tg(x)$ tem assíntotas verticais quando:

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n\in\mathbb{Z})$$

Pela figura, as assíntotas verticais (linhas verdes) estão em:

$$T=\frac{5-2\pi}{2} \quad \text{e} \quad T=\frac{5+2\pi}{2}$$

A distância entre essas assíntotas é:

$$\left(\frac{5+2\pi}{2}\right) – \left(\frac{5-2\pi}{2}\right) = \frac{4\pi}{2}=2\pi$$

Na tangente, a distância entre duas assíntotas consecutivas é o período:

$$\frac{\pi}{p}$$

Então:

$$\frac{\pi}{p} = 2\pi \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{p}=2 \quad\Rightarrow\quad p=\frac{1}{2}$$

✅ Já achamos $p=\dfrac12$

2) Encontrando o deslocamento horizontal $m$m

O “meio” entre as duas assíntotas é:

$$T_0=\frac{\left(\frac{5-2\pi}{2}\right)+\left(\frac{5+2\pi}{2}\right)}{2} =\frac{5}{2}$$

No ponto médio entre assíntotas, o argumento da tangente é $0$ (pois $\tg(0)=0$).
Logo:

$$p(T_0+m)=0$$

Como $p\neq 0$p=0, então:

$$T_0+m=0 \quad\Rightarrow\quad m=-T_0=-\frac{5}{2}$$

Então o argumento fica:$$p(T+m)=\frac{1}{2}\left(T-\frac{5}{2}\right)$$

✅ Isso já bate exatamente com as alternativas D e E no “miolo” da tangente — e só a E tem esse deslocamento.

3) Encontrando o deslocamento vertical $k$k

No ponto $T=\dfrac{5}{2}$​ (meio entre as assíntotas), temos:

$$D = k + \tg(0)=k$$

Pela figura, nesse instante $T=2{,}5$, o valor indicado para $D$ é 30. Logo:

$$k = 30$$

Conclusão

A função é:$$\boxed{D = 30 + \tg\!\left[\frac{1}{2}\left(T-\frac{5}{2}\right)\right]}$$

Gabarito

✅ Alternativa E.