Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.

Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 12
E) 18

Resolução

1) Descobrir para qual população servem 5 litros

A recomendação é:

$$1 \ \text{litro} \rightarrow 200000 \ \text{larvas}$$

Então, 5 litros correspondem a:

$$5 \ \text{litros} \rightarrow 5 \cdot 200000 = 1000000 \ \text{larvas}$$

Ou seja, ele deve aplicar o produto quando a população chegar a:

$$1000000 \ \text{larvas}$$

2) Modelar o crescimento da população

Ele começa com 100 larvas e a cada 3 dias a população multiplica por 10:

Após 3 dias:

$$100 \cdot 10 = 1000$$

Após 6 dias:

$$100 \cdot 10^2 = 100 \cdot 100 = 10000$$

Após 9 dias:

$$100 \cdot 10^3 = 100 \cdot 1000 = 100000$$

Após 12 dias:

$$100 \cdot 10^4 = 100 \cdot 10000 = 1000000$$

Perceba que em 12 dias a população chega exatamente a 1 000 000 de larvas.

3) Conclusão

Como ele deve aplicar todo o produto de uma única vez quando a população atingir 1 000 000, ele deverá aplicar após:

Resposta: $$12 \ \text{dias}$$ (alternativa D).