Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantêm equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado.

Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.

Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?

A) $y=-3x+20$
B) $y=-3x+16$
C) $y=-3x-20$
D) $y=3x+16$
E) $y=3x-16$

Resolução detalhada

1) Ideia central

Para o herói não ser atacado, ele deve ficar à mesma distância dos dois vilões (pontos $V$ e $T$).
O conjunto dos pontos do plano que são equidistantes de $V$ e $T$ é a mediatriz do segmento VT.

Logo, precisamos determinar a equação da mediatriz de VT.

2) Dados do gráfico

O enunciado/figura fornece:$$S(6,2)\quad \text{e}\quad V(8,6)$$

Como $STUV$ é um quadrado, os pontos $S$ e $V$ são vértices consecutivos (um lado do quadrado).

Então o vetor do lado $\overrightarrow{SV}$ é:

$$\overrightarrow{SV}=(8-6,\;6-2)=(2,4)$$

3) Encontrando $T$

Em um quadrado, lados consecutivos são perpendiculares e têm o mesmo comprimento.
Um vetor perpendicular a $(2,4)$ pode ser obtido por rotação de $90^\circ$:

$$(2,4)\ \longrightarrow\ (-4,2)$$

Assim:$$T = S + (-4,2)=(6-4,\;2+2)=(2,4)$$

Logo:$$T(2,4)$$

4) Mediatriz do segmento $VT$

4.1) Ponto médio de $V(8,6)$ e $T(2,4)$

$$M=\left(\frac{8+2}{2},\frac{6+4}{2}\right)=(5,5)$$

4.2) Coeficiente angular de $VT$VT

$$m_{VT}=\frac{6-4}{8-2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

A mediatriz é perpendicular a $VT$VT, então seu coeficiente angular é o inverso oposto:$$m=-\frac{1}{m_{VT}}=-\frac{1}{\frac{1}{3}}=-3$$

5) Equação da mediatriz (reta que passa por $M(5,5)$e tem inclinação $-3$

Usando a forma ponto-inclinação:

$$y-5=-3(x-5)$$

Distribuindo:

$$y-5=-3x+15$$

Somando 5 nos dois lados:

$$y=-3x+20$$

✅ Resposta (Gabarito)

$$\boxed{y=-3x+20}$$

Alternativa A. ✅