QUESTÃO 150
Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas \(3\ \text{m}\) e \(6\ \text{m}\), será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura por círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre as colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a \(15\ \text{cm}\).
Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas.
| Loja | Raio (cm) | Preço por unidade (R$) |
|---|---|---|
| I | 5 | 60 |
| II | 10 | 70 |
| III | 12 | 75 |
| IV | 15 | 90 |
| V | 20 | 120 |
A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível.
A compra será realizada na loja
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução:
A sala tem o lado menor medindo 3 m. Vamos transformar para centímetros:
$$
3\ \text{m} = 300\ \text{cm}
$$
As colunas serão colocadas ao longo desses 300 cm. Cada coluna é cilíndrica, então ocupa um espaço igual ao seu diâmetro, que vale:
$$
\text{diâmetro} = 2r
$$
Além das colunas, existem espaços (vãos) entre elas e entre a coluna e a parede. Cada vão pode ter, no máximo, 15 cm.
Se usarmos \(n\) colunas:
- o espaço ocupado pelas colunas é \(n \cdot 2r\);
- o número total de vãos é \(n+1\);
- o espaço máximo dos vãos é \(15(n+1)\).
Para fechar os 300 cm, devemos ter:
$$
n\cdot 2r + 15(n+1) \ge 300
$$
Agora vamos testar cada loja, sempre escolhendo o menor número inteiro de colunas que atende a condição, e depois calculando o custo.
Loja I (r = 5 cm)
$$
\text{Diâmetro} = 10 \text{ cm}
$$
São necessárias 12 colunas.
$$
\text{Custo} = 12 \cdot 60 = 720
$$
Loja II (r = 10 cm)
$$
\text{Diâmetro} = 20 \text{ cm}
$$
São necessárias 9 colunas.
$$
\text{Custo} = 9 \cdot 70 = 630
$$
Loja III (r = 12 cm)
$$
\text{Diâmetro} = 24 \text{ cm}
$$
São necessárias 8 colunas.
$$
\text{Custo} = 8 \cdot 75 = 600
$$
Loja IV (r = 15 cm)
$$
\text{Diâmetro} = 30 \text{ cm}
$$
São necessárias 7 colunas.
$$
\text{Custo} = 7 \cdot 90 = 630
$$
Loja V (r = 20 cm)
$$
\text{Diâmetro} = 40 \text{ cm}
$$
São necessárias 6 colunas.
$$
\text{Custo} = 6 \cdot 120 = 720
$$
Comparando os custos finais:
$$
720,\ 630,\ 600,\ 630,\ 720
$$
O menor valor é R$ 600, correspondente à Loja III.
Resposta: C) III.