QUESTÃO 148

Uma caneca com água fervendo é retirada de um forno de micro-ondas. A temperatura $T$, em grau Celsius, da caneca, em função do tempo $t$, em minuto, pode ser modelada pela função $T(t)=a+80\cdot b^{t},$ representada no gráfico a seguir.

Os valores das constantes $a$ e $b$ são

(A) $a=20;\ b=\log(0{,}5)$
(B) $a=100;\ b=0{,}5$
(C) $a=20;\ b=(0{,}5)^{\frac{1}{10}}$
(D) $a=20;\ b=\left(\dfrac{40}{80}\right)^{\frac{1}{10}}$
(E) $a=20;\ b=40$

Resolução (detalhada)

Pelo gráfico, podemos ler dois pontos importantes da curva:

• no instante inicial, $t=0$, a temperatura é $T(0)=100^\circ\text{C}$;
• no instante $t=20$, a temperatura é $T(20)=40^\circ\text{C}$.

1) Determinando $a$

Substituindo $t=0$ na função: $$T(0)=a+80\cdot b^0=a+80\cdot 1=a+80.$$

Como $T(0)=100$, temos: $$a+80=100 \;\Rightarrow\; a=20.$$

2) Determinando $b$

Agora usamos o ponto $t=20$, em que $T(20)=40$: $$T(20)=a+80\cdot b^{20}.$$

Substituindo $a=20$: $$40=20+80\cdot b^{20}.$$

Isolando o termo com $b$: $$40-20=80\cdot b^{20}\;\Rightarrow\;20=80\cdot b^{20}.$$

Dividindo por $80$: $$b^{20}=\frac{20}{80}=\frac{1}{4}.$$

Então: $$b=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{20}}.$$

Como $\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$, podemos reescrever: $$b=\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{\frac{1}{20}} =\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{20}} =\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{10}} =(0{,}5)^{\frac{1}{10}}.$$

Logo, os valores são: $$\boxed{a=20 \quad \text{e} \quad b=(0{,}5)^{\frac{1}{10}}}.$$

Alternativa correta: (C)