O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

A) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
B) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
C) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
D) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
E) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Resolução (bem detalhada)

Vamos nomear as posições do triângulo (6 círculos):

• Vértices: topo = A, baixo-esquerda = D, baixo-direita = F
• Meios dos lados: esquerda = B, direita = C, meio da base = E

As somas dos lados são:

Lado esquerdo: A+B+D
Lado direito: A+C+F
Base: D+E+F

Como o triângulo é “mágico”, essas três somas são iguais a um mesmo valor S:

A+B+D = S
A+C+F = S

1) Uma sacada importante: somar os 3 lados

Somando as três igualdades:

No lado esquerdo, observe quantas vezes cada número aparece:

• Os vértices A, D e F aparecem em dois lados cada (contam 2 vezes).
• Os do meio B, C e E aparecem em um lado cada (contam 1 vez).

Então:

Mas os números de 1 a 6 são usados uma única vez, então:

Logo, B+C+E = 21 – (A+D+F). Substituindo em 3S:

3S = 2(A+D+F) + \big(21-(A+D+F)\big)

Portanto:

S = \dfrac{21 + (A+D+F)}{3}

2) Usar a condição da progressão aritmética nos vértices

Os vértices (A, D, F) estão em P.A. de razão 2, usando números de 1 a 6 sem repetir. As únicas trincas possíveis são:

• (1,3,5)
• (2,4,6)

Agora calculamos S em cada caso.

Caso 1: vértices são 1, 3 e 5

Caso 2: vértices são 2, 4 e 6

Ou seja, as somas dos lados só podem ser 10 ou 11.

3) Conferir que os dois valores realmente são possíveis (exemplos)

Exemplo com soma 10 (vértices 1, 3, 5):
Escolha A=1, D=3, F=5.
Então:

• B = 10 – A – D = 10 – 1 – 3 = 6
• C = 10 – A – F = 10 – 1 – 5 = 4
• E = 10 – D – F = 10 – 3 – 5 = 2

Usamos exatamente 2,4,6 sem repetir, funcionando.

Exemplo com soma 11 (vértices 2, 4, 6):
Escolha A=2, D=4, F=6.
Então:

• B = 11 – 2 – 4 = 5
• C = 11 – 2 – 6 = 3
• E = 11 – 4 – 6 = 1

Também funciona.

Resposta: E (as somas podem ser 10 ou 11).