Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição de dois sólidos distintos, um com a forma de um prisma hexagonal regular reto e o outro com a forma de um tronco de pirâmide hexagonal reta. A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma.

Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas.

Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?

A) 9
B) 8
C) 6
D) 4
E) 3

Resolução detalhada

1) Entendendo a peça (como o sólido é montado)

O protótipo é formado pela junção de dois sólidos:

1. Prisma hexagonal regular reto
   • Possui 2 bases hexagonais congruentes (iguais)
   • Possui 6 faces laterais retangulares congruentes (todas iguais)
2. Tronco de pirâmide hexagonal reta
   • Possui 2 bases hexagonais (uma maior e uma menor)
   • Possui 6 faces laterais em forma de trapézios congruentes (todas iguais)

O enunciado diz que a base maior do tronco coincide com uma das bases do prisma.

✅ Isso significa que essa base comum fica “colada” por dentro e não aparece na superfície externa, portanto não será pintada.

2) Quais faces ficam visíveis para pintar?

Depois da junção, a superfície externa da peça tem:

Do prisma:

• 1 base hexagonal (a que não foi colada) → 1 face
• 6 retângulos laterais congruentes → 6 faces (todas iguais)

Do tronco de pirâmide:

• 1 base hexagonal menor (a de cima) → 1 face
• 6 trapézios laterais congruentes → 6 faces (todas iguais)

A base maior do tronco (que é igual à base do prisma) ficou interna, então não conta.

3) Aplicando o critério das cores (congruência)

O critério é:

• Faces congruentes → mesma cor
• Faces não congruentes → cores diferentes

Agora, vamos agrupar as faces por tipo e tamanho (congruência):

1. Base hexagonal exposta do prisma
   • é um hexágono regular de certo tamanho
     ✅ 1 cor
2. Base hexagonal menor do tronco
   • também é hexágono regular, mas menor, então não é congruente à base do prisma
     ✅ 1 cor diferente
3. 6 faces laterais retangulares do prisma
   • todas congruentes entre si
     ✅ 1 cor
4. 6 faces laterais trapezoidais do tronco
   • todas congruentes entre si
     ✅ 1 cor

4) Total de cores

Somando as classes de faces congruentes:$$1 + 1 + 1 + 1 = 4$$1+1+1+1=4

✅ Gabarito

D) 4