Uma criança, utilizando um aplicativo, escreveu uma mensagem para enviar a um amigo. Essa mensagem foi escrita seguindo estas etapas:

A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a 20ª etapa. Em seguida, enviou a mensagem. Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?

(A) $3 \times 2^{19}$
(B) $3 \times 2^{20}$
(C) $3 \times 2^{21}$
(D) $3 \times 2^{20} – 1$
(E) $3 \times 2^{20} – 3$

Resolução (detalhada)

Na 1ª etapa, a criança colocou 3 figuras: $$N_1 = 3.$$

Na 2ª etapa, ela copia tudo o que estava no visor e cola ao lado. Ou seja, a quantidade dobra: $$N_2 = 2\cdot N_1 = 2\cdot 3 = 6.$$

Na 3ª etapa, novamente ela copia tudo o que está no visor (que era $6$) e cola ao lado, dobrando de novo: $$N_3 = 2\cdot N_2 = 2\cdot 6 = 12.$$

Perceba o padrão: a cada etapa, a quantidade de figuras é multiplicada por $2$. Logo, forma-se uma progressão em que: $$N_{k} = 2\cdot N_{k-1}.$$

Partindo de $N_1=3$, após repetir a duplicação $(k-1)$ vezes, obtemos: $$N_k = 3\cdot 2^{k-1}.$$

A questão pede a quantidade na 20ª etapa: $$N_{20} = 3\cdot 2^{20-1} = 3\cdot 2^{19}.$$

Portanto, o total de figuras na mensagem enviada foi: $$\boxed{3\cdot 2^{19}}.$$

Alternativa correta: (A)