Analisando as vendas de uma empresa, o gerente concluiu que o montante diário arrecadado, em milhar de real, poderia ser calculado pela expressão \(V(x) = \dfrac{x^2}{4} – 10x + 105\), em que os valores de \(x\) representam os dias do mês, variando de 1 a 30.

Um dos fatores para avaliar o desempenho mensal da empresa é verificar qual é o menor montante diário \(V_0\) arrecadado ao longo do mês e classificar o desempenho conforme as categorias apresentadas a seguir, em que as quantidades estão expressas em milhar de real.

* Ótimo: \(V_0 \ge 24\)
* Bom: \(20 \le V_0 < 24\)
* Normal: \(10 \le V_0 < 20\)
* Ruim: \(4 \le V_0 < 10\)
* Péssimo: \(V_0 < 4\)

No caso analisado, qual seria a classificação do desempenho da empresa?

(A) Ótimo.
(B) Bom.
(C) Normal.
(D) Ruim.
(E) Péssimo.

Resolução

1) Entendendo a função

\[ V(x)=\frac{x^2}{4}-10x+105 \]

Essa é uma função quadrática (parábola). Como o coeficiente de \(x^2\) é positivo \(\left(\frac14\right)\), a parábola é voltada para cima, então ela tem valor mínimo no vértice.

2) Achando o dia em que ocorre o mínimo (vértice)

Na forma \(ax^2+bx+c\), temos:

\[ a=\frac14,\quad b=-10,\quad c=105 \]

A coordenada \(x\) do vértice é:

\[ x_v=\frac{-b}{2a} \]

Substituindo:

\[ x_v=\frac{-(-10)}{2\cdot\frac14} =\frac{10}{\frac12} =20 \]

Como \(x\) varia de 1 a 30, o dia \(20\) está dentro do intervalo. Portanto, o mínimo acontece em \(x=20\).

3) Calculando o menor valor \(V_0 = V(20)\)

\[ V(20)=\frac{20^2}{4}-10\cdot 20+105 \]

Calculando por partes:

\[ 20^2=400 \]

\[ \frac{400}{4}=100 \]

\[ -10\cdot 20=-200 \]

Então:

\[ V(20)=100-200+105=5 \]

Logo, o menor montante diário é:

\[ V_0=5 \]

Como o enunciado diz que os valores estão em milhar de real, isso significa \(5\) mil reais.

4) Classificação

Pelas categorias:

\[ 4 \le V_0 < 10 \Rightarrow \text{Ruim} \]

Como \(V_0=5\), a classificação é Ruim.

Resposta: (D) Ruim.