Sejam \(a\), \(b\) e \(c\) as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo \(a\) como medida da hipotenusa. Esses valores, \(a\), \(b\) e \(c\) são, respectivamente, os diâmetros dos círculos \(C_1\), \(C_2\) e \(C_3\), como apresentados na figura.

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que \(\text{área}(C_1)=\text{área}(C_2)+\text{área}(C_3)\).

Um professor de matemática, já conhecedor dessa construção, em confraternização com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

A partir da medida do ângulo \(\alpha\), o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.

A área da pizza do professor de matemática é maior que a soma das áreas das outras duas pizzas, porque:

(A) \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)
(B) \(\alpha = 90^\circ\)
(C) \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)
(D) \(\alpha = 180^\circ\)
(E) \(180^\circ < \alpha < 360^\circ\)

Resolução

A área de uma pizza (círculo) depende do quadrado do diâmetro:

\[ A=\frac{\pi}{4}\,d^2 \]

Então, dizer que a pizza do professor (diâmetro \(a\)) tem área maior que a soma das outras duas (diâmetros \(b\) e \(c\)) é o mesmo que dizer:

\[ \frac{\pi}{4}a^2>\frac{\pi}{4}b^2+\frac{\pi}{4}c^2 \quad \Longleftrightarrow \quad a^2>b^2+c^2 \]

Agora vem a ideia principal: no triângulo com lados \(a\), \(b\) e \(c\), o lado \(a\) fica oposto ao ângulo \(\alpha\).

• Se \(\alpha=90^\circ\), então \(a^2=b^2+c^2\) (Pitágoras) e as áreas seriam iguais.
• Se \(\alpha\) for menor que \(90^\circ\) (ângulo agudo), então o lado oposto \(a\) fica menor, logo \(a^2menor.
• Se \(\alpha\) for maior que \(90^\circ\) (ângulo obtuso), então o lado oposto \(a\) fica maior, logo \(a^2>b^2+c^2\) e a pizza do professor é maior.

Como \(\alpha\) é ângulo interno de triângulo, ele fica entre \(0^\circ\) e \(180^\circ\). Portanto, para a pizza do professor ser maior, precisamos de:

\[ 90^\circ<\alpha<180^\circ \]

Resposta: \(90^\circ<\alpha<180^\circ\). Alternativa (C).