A soma dos valores de x, para os quais y = 0 na equação $y=x^4+3x^2-54,$ é um número:

(A) Ímpar
(B) Maior que 15
(C) Primo
(D) Negativo
(E) Nulo

Resolução

1) Colocar y = 0

Se $y=0$, então:

$$x^4+3x^2-54=0$$

2) Troca para facilitar: chamar $x^2$ de uma letra

Como aparece $x^4$ e $x^2$, a gente pode fazer:

$$t=x^2$$

Assim:

$$x^4 = (x^2)^2 = t^2$$

$$3x^2 = 3t$$

A equação fica bem mais simples:

$$t^2+3t-54=0$$

3) Resolver a equação do 2º grau

Vamos fatorar (achar dois números que multiplicam -54 e somam 3):

$$9\cdot(-6)=-54 \quad \text{e} \quad 9+(-6)=3$$

Então:

$$t^2+3t-54=(t+9)(t-6)=0$$

Para dar zero, um dos fatores tem que ser zero:

$$t+9=0 \Rightarrow t=-9$$

$$t-6=0 \Rightarrow t=6$$

4) Voltar para $x$ (lembrando que $t=x^2$)

Caso 1: $t=-9$

Se $x^2=-9$, não existe solução com números reais (porque quadrado de um número real nunca dá negativo). Então esse caso não conta aqui.

Caso 2: $t=6$

Se $x^2=6$, então:

$$x=\sqrt{6} \quad \text{ou} \quad x=-\sqrt{6}$$

5) Somar os valores de x

A soma é:

$$\sqrt{6}+(-\sqrt{6})=0$$

Ou seja, a soma é zero, que é um número nulo.

Resposta: (E) Nulo