Considere os conjuntos:

• \( A = \{ x \in \mathbb{N} \,/\, x^2 = 4 \} \)
• \( B = \{ x \in \mathbb{Z} \,/\, x^2 = 4 \} \)
• \( C = \{ x \in \mathbb{Q} \,/\, x^2 = 4 \} \)

Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar corretamente que:

(A) Apenas o conjunto A possui dois elementos.

(B) Apenas os conjuntos B e C possuem dois elementos.

(C) Apenas o conjunto B possui dois elementos.

(D) Apenas o conjunto C possui dois elementos.

(E) Os conjuntos A, B e C são vazios.

Resolução

Vamos entender o que cada conjunto está pedindo:

• \(x^2 = 4\) significa “um número que, ao multiplicar por ele mesmo, dá 4”.

Quais números têm essa propriedade?

• \(2 \cdot 2 = 4\) então \(x = 2\) serve.
• \((-2) \cdot (-2) = 4\) então \(x = -2\) também serve.

Ou seja, os números que resolvem \(x^2 = 4\) são: \(2\) e \(-2\). Agora vamos ver se cada conjunto “aceita” esses números, dependendo do tipo de número.

1) Conjunto A

\( A = \{ x \in \mathbb{N} \,/\, x^2 = 4 \} \)

\(\mathbb{N}\) é o conjunto dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, …). Números naturais não têm sinal negativo.

Então, no A:

• \(2\) pode entrar (é natural).
• \(-2\) não pode entrar (não é natural).

Logo, \(A = \{2\}\) e tem 1 elemento.

2) Conjunto B

\( B = \{ x \in \mathbb{Z} \,/\, x^2 = 4 \} \)

\(\mathbb{Z}\) é o conjunto dos números inteiros (…, -2, -1, 0, 1, 2, …). Aqui existem números negativos e positivos.

Então, no B:

• \(2\) pode entrar (é inteiro).
• \(-2\) pode entrar (também é inteiro).

Logo, \(B = \{-2, 2\}\) e tem 2 elementos.

3) Conjunto C

\( C = \{ x \in \mathbb{Q} \,/\, x^2 = 4 \} \)

\(\mathbb{Q}\) é o conjunto dos números racionais (frações, decimais exatos e também inteiros). Como \(2\) e \(-2\) podem ser escritos como frações (\(2 = 2/1\), \(-2 = -2/1\)), eles também são racionais.

Então, no C:

• \(2\) entra.
• \(-2\) entra.

Logo, \(C = \{-2, 2\}\) e tem 2 elementos.

Conclusão

• A tem 1 elemento.
• B tem 2 elementos.
• C tem 2 elementos.

Portanto, apenas os conjuntos B e C possuem dois elementos.

Resposta correta: (B)