Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

A) \(\dfrac{7!}{4!}\times\dfrac{6!}{4!}\)

B) \(\dfrac{7!}{3!\cdot 4!}\times\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}\)

C) \(\dfrac{7!}{3!\cdot 4!}+\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}+\dfrac{5!}{1!\cdot 4!}\)

D) \(\left(\dfrac{7!}{3!\cdot 4!}+\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}\right)\times\left(\dfrac{7!}{4!\cdot 3!}+\dfrac{6!}{1!\cdot 5!}\right)\times\left(\dfrac{7!}{5!\cdot 2!}+\dfrac{6!}{0!\cdot 6!}\right)\)

E) \(\dfrac{7!}{3!\cdot 4!}\times\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}+\dfrac{7!}{4!\cdot 3!}\times\dfrac{6!}{1!\cdot 5!}+\dfrac{7!}{5!\cdot 2!}\times\dfrac{6!}{0!\cdot 6!}\)

Resolução

Temos:

• 7 cardiologistas (C)
• 6 neurologistas (N)
• Vamos formar uma equipe com 5 médicos
• Com pelo menos 3 cardiologistas

“Pelo menos 3 cardiologistas” significa que o número de cardiologistas na equipe pode ser:

$$3,\;4\;\text{ou}\;5.$$

Para cada caso, contamos as combinações (ordem não importa).

Lembrando:

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

1) Caso: 3 cardiologistas e 2 neurologistas

$$\binom{7}{3}\cdot\binom{6}{2}$$

Em fatoriais:

$$\binom{7}{3}\cdot\binom{6}{2}=\frac{7!}{3!\,4!}\cdot\frac{6!}{2!\,4!}$$

2) Caso: 4 cardiologistas e 1 neurologista

$$\binom{7}{4}\cdot\binom{6}{1}$$

Em fatoriais:

$$\binom{7}{4}\cdot\binom{6}{1}=\frac{7!}{4!\,3!}\cdot\frac{6!}{1!\,5!}$$

3) Caso: 5 cardiologistas e 0 neurologista

$$\binom{7}{5}\cdot\binom{6}{0}$$

Em fatoriais:

$$\binom{7}{5}\cdot\binom{6}{0}=\frac{7!}{5!\,2!}\cdot\frac{6!}{0!\,6!}$$

Total de maneiras

Somamos os três casos:

$$ \binom{7}{3}\binom{6}{2}+\binom{7}{4}\binom{6}{1}+\binom{7}{5}\binom{6}{0} $$

Em forma de expressão com fatoriais:

$$ \frac{7!}{3!\,4!}\cdot\frac{6!}{2!\,4!} +\frac{7!}{4!\,3!}\cdot\frac{6!}{1!\,5!} +\frac{7!}{5!\,2!}\cdot\frac{6!}{0!\,6!} $$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa E.

Resposta

Alternativa E.