Questão 177 — Transcrição

A figura ilustra o projeto visual para confecção de uma medalha comemorativa, com a forma de um cilindro circular reto, de diâmetro 6 cm e espessura 3 mm.

A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 100 dessas medalhas.

Considere 3,1 como valor aproximado para \(\pi\).

Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?

A) 288
B) 297
C) 567
D) 990
E) 1 134

Resolução Detalhada

1) Interpretando a figura

A medalha inteira tem formato de cilindro. No interior, há um prisma cuja base é o quadrado ABCD, atravessando toda a espessura.

O ouro corresponde à região externa ao prisma, então:

$$V_{\text{ouro}} = V_{\text{cilindro}} – V_{\text{prisma}}$$

2) Volume do cilindro

Diâmetro do cilindro: \(6\text{ cm}\) → raio \(r=3\text{ cm}\).

Espessura: \(3\text{ mm} = 0{,}3\text{ cm}\).

Volume do cilindro:

$$V_{\text{cil}}=\pi r^2 h$$

Substituindo \(\pi \approx 3{,}1\), \(r=3\) e \(h=0{,}3\):

$$V_{\text{cil}} = 3{,}1 \cdot 3^2 \cdot 0{,}3 = 3{,}1 \cdot 9 \cdot 0{,}3 = 3{,}1 \cdot 2{,}7 = 8{,}37\text{ cm}^3$$

3) Volume do prisma de base quadrada

O quadrado ABCD está inscrito no círculo da medalha, ou seja, seus vértices encostam na circunferência. Assim, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do círculo:

$$d = 6\text{ cm}$$

Para um quadrado, a relação entre diagonal \(d\) e lado \(s\) é:

$$d=s\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad s=\frac{d}{\sqrt{2}}$$

Então:

$$s=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$$

Área da base quadrada:

$$A_{\text{quad}}=s^2=(3\sqrt{2})^2=9\cdot 2=18\text{ cm}^2$$

Como o prisma atravessa toda a medalha, sua altura é a mesma espessura:

$$h=0{,}3\text{ cm}$$

Logo, o volume do prisma é:

$$V_{\text{pris}}=A_{\text{quad}}\cdot h =18\cdot 0{,}3 =5{,}4\text{ cm}^3$$

4) Volume de ouro por medalha

$$V_{\text{ouro, 1}}=V_{\text{cil}}-V_{\text{pris}} =8{,}37-5{,}4 =2{,}97\text{ cm}^3$$

5) Volume de ouro para 100 medalhas

$$V_{\text{ouro, 100}}=100\cdot 2{,}97=297\text{ cm}^3$$

Resposta: B) 297