Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.

Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?

A) $10 \times 9 \times 8$
B) $20 \times 18 \times 16$
C) $20 \times 19 \times 18$
D) $10 \times 9 \times 8 \times 2$
E) $20 \times 18 \times 16 \times 2$

Resolução detalhada

1) Entendendo a regra

• São 10 casais, então há 20 pessoas no total.
• A diretoria tem 3 cargos diferentes (presidente, secretário, tesoureiro).
• A condição “no máximo uma pessoa por casal” significa:
  • não pode acontecer de duas pessoas do mesmo casal ocuparem cargos ao mesmo tempo.

Ou seja, os 3 escolhidos devem vir de 3 casais diferentes.

2) Contando as escolhas cargo a cargo

a) Escolha do presidente

Há 20 pessoas possíveis, logo temos 20 opções

b) Escolha do secretário

Agora, não podemos escolher:

• o próprio presidente (óbvio), e
• o cônjuge do presidente (por causa da regra do casal).

Então saem 2 pessoas do total:

20−2 = 18 opções

c) Escolha do tesoureiro

Neste ponto, já temos 2 pessoas escolhidas, de 2 casais diferentes.

Para o tesoureiro, não podemos escolher:

• as 2 pessoas já escolhidas, e
• os 2 cônjuges delas,

totalizando 4 pessoas proibidas.

20−4=16 opções

3) Multiplicando (princípio multiplicativo)

$$20 \times 18 \times 16$$

Esse é exatamente o valor da alternativa B.

Gabarito

✅ B) 20×18×16