\[y-y_0=m(x-x_0)\]
Útil quando conhecemos um ponto e o coeficiente angular.
RETASUma reta registra
Uma reta registra
posição e direção.
A equação da reta não é apenas álgebra. Ela informa como y varia com x e permite reconhecer paralelismo, perpendicularidade e pontos de encontro.
COEFICIENTE ANGULAR
Inclinação é taxa de variação.
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Se A=(1,2) e B=(4,8), então:
\[m=\frac{8-2}{4-1}=2\]
A cada 1 unidade avançada em x, y aumenta 2.
Um ponto e uma inclinação já bastam.
\[y=mx+n\]
m é a inclinação; n é onde a reta cruza o eixo y.
EXEMPLO BÁSICO
Reta de inclinação 3 passando por (2,1).
\[y-1=3(x-2)\]
\[y=3x-5\]
Dois pontos, interceptos e casos especiais.
Reta determinada por dois pontos.
Por A=(-1,4) e B=(3,-2):
\[m=\frac{-2-4}{3-(-1)}=-\frac32\]
\[y-4=-\frac32(x+1)\]
Leia os interceptos.
Na reta y=-2x+6, o intercepto em y é 6. Para encontrar o intercepto em x, faça y=0:
\[0=-2x+6\Rightarrow x=3\]
Logo, a reta cruza os eixos em (0,6) e (3,0).
Reta vertical.
Todos os pontos possuem a mesma coordenada x.
\[x=4\]
Ela não possui coeficiente angular finito e não deve ser forçada à forma y=mx+n.
A relação entre inclinações revela a geometria.
Mesma inclinação.
\[m_1=m_2\]
Se forem distintas, não se encontram.
Inclinações recíprocas e opostas.
\[m_1m_2=-1\]
Válido para retas não verticais.
EXEMPLO INTERMEDIÁRIO
Encontre a perpendicular a y=2x+1 que passa por (4,3).
A reta original tem m=2. A perpendicular terá m=-1/2.
\[y-3=-\frac12(x-4)\]
\[y=-\frac12x+5\]
EXEMPLO ESTRATÉGICO
Descobrir um parâmetro para garantir paralelismo.
Considere as retas r: y=(k-1)x+3 e s: y=2x-5. Para que sejam paralelas, seus coeficientes angulares devem ser iguais:
\[k-1=2\Rightarrow k=3\]
Interseção de retas é também um sistema.
Para y=2x+1 e y=-x+7, igualamos as expressões porque no ponto de encontro o mesmo par (x,y) pertence às duas retas.
\[2x+1=-x+7\Rightarrow x=2\]
\[y=5\]
Interseção: (2,5).